Verificar quais das seguintes curvas são suaves:
vec(r)(t) = (t^3, t^2) ; t in [-1, 1]

Passo 1

Beleza, então a gente vai verificar se a curva dada por , para entre e , é suave. Aqui, “suave” significa que a curva não tem quebras ou cantos agudos, e que a derivada da posição é contínua e nunca é o vetor zero nesse intervalo. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da curva e analisar se ela atende a esses critérios.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da curva . A derivada de uma função vetorial dá a velocidade da curva em cada ponto, e é calculada derivando cada componente separadamente.
Agora, precisamos verificar se essa derivada existe e é contínua para todo no intervalo . As funções e são polinômios, e sabemos que polinômios são suaves em todo lugar porque são contínuos e diferenciáveis em todo o seu domínio.
Além disso, precisamos garantir que a derivada não seja o vetor zero em nenhum ponto do intervalo. Vamos ver quando :
Resolvendo essas equações:
Então, a derivada é zero apenas quando . Isso significa que, no ponto , a velocidade da curva é zero, o que pode indicar um ponto de parada ou uma possível não-suavidade.

Passo 3

Apesar da derivada ser zero em , a curva ainda pode ser considerada suave se a derivada segunda existir e for contínua nesse ponto. Vamos calcular a segunda derivada:
A segunda derivada também é contínua em todo o intervalo e, no ponto , ela é , que não é o vetor zero. Isso indica que, apesar da derivada primeira ser zero em , a curva passa de forma suave por esse ponto, sem criar um canto ou quebra.

Resposta

A curva para é suave em todo o intervalo considerado.

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