Verificar quais das seguintes curvas são suaves:
Passo 1
Beleza, então a gente vai verificar se a curva dada por
, para
entre
e
, é suave. Aqui, “suave” significa que a curva não tem quebras ou cantos agudos, e que a derivada da posição é contínua e nunca é o vetor zero nesse intervalo. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da curva e analisar se ela atende a esses critérios.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da curva
. A derivada de uma função vetorial dá a velocidade da curva em cada ponto, e é calculada derivando cada componente separadamente.
Agora, precisamos verificar se essa derivada existe e é contínua para todo
no intervalo
. As funções
e
são polinômios, e sabemos que polinômios são suaves em todo lugar porque são contínuos e diferenciáveis em todo o seu domínio.
Além disso, precisamos garantir que a derivada não seja o vetor zero em nenhum ponto do intervalo. Vamos ver quando
:
Resolvendo essas equações:
Então, a derivada é zero apenas quando
. Isso significa que, no ponto
, a velocidade da curva é zero, o que pode indicar um ponto de parada ou uma possível não-suavidade.
Passo 3
Apesar da derivada ser zero em
, a curva ainda pode ser considerada suave se a derivada segunda existir e for contínua nesse ponto. Vamos calcular a segunda derivada:
A segunda derivada também é contínua em todo o intervalo
e, no ponto
, ela é
, que não é o vetor zero. Isso indica que, apesar da derivada primeira ser zero em
, a curva passa de forma suave por esse ponto, sem criar um canto ou quebra.
Resposta
A curva
para
é suave em todo o intervalo considerado.