Calcule cada limite abaixo, caso exista. Se não existir, justifique.
(h) lim x 1 f(x)-f(1)x-1, em que f(x)=cx+1, se x >= 1 2 x, se x<1

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto1f(x)-f(1)x-1
sendo
f(x)= x+1,&x>=1, 2x,&x<1
O conteúdo é o cálculo de limites laterais de um quociente diferencial de função definida por partes.

Passo 2

Primeiro, avaliamos f(1). Como 1>=1, usamos o ramo f(x)=x+1. Logo
f(1)=1+1=2

Passo 3

Calculamos o limite pela esquerda ( xto1^-). Para x<1 vale f(x)=2x, então
limxto1^-f(x)-f(1)x-1 =limxto1^-2x-2x-1 =limxto1^-2(x-1)x-1 =2

Passo 4

Calculamos o limite pela direita ( xto1^+). Para x>=1 vale f(x)=x+1, então
limxto1^+f(x)-f(1)x-1 =limxto1^+(x+1)-2x-1 =limxto1^+x-1x-1 =1

Passo 5

Como
limxto1^-f(x)-f(1)x-1=2
e
limxto1^+f(x)-f(1)x-1=1
são diferentes, o limite em x=1 não existe.

Resposta

O limite não existe, pois os limites laterais são distintos.

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