A função de onda dada pela equação abaixo representa o estado fundamental de um átomo de massa
ligada a uma superfície cristalina (oscilador quântico)
(a) Escreva a equação de Schrödinger independente do tempo (use
);
(b) Utilize a equação de onda de matéria do estado fundamental e a equação Schrödinger independente do tempo para determinar o valor da energia do estado fundamental.
(c) Um oscilador clássico oscila entre dois extremos, por exemplo, entre
. Considerando o comportamento ondulatório do átomo, ele pode ir além desses limites (justifique)?
(d) Dentro intervalo
onde é a maior probabilidade de encontrar a partícula considerando o comportamento quântico?
(b) Utilize a equação de onda de matéria do estado fundamental e a equação Schrödinger independente do tempo para determinar o valor da energia do estado fundamental.
(c) Um oscilador clássico oscila entre dois extremos, por exemplo, entre
(d) Dentro intervalo
Passo 1
O enunciado fornece a função de onda do estado fundamental de um oscilador qu^antico unidimensional
e pede: (a) escrever a equa\c{c}~ao de Schr"odinger independente do tempo usando
; (b) determinar a energia desse estado; (c) discutir se a part’icula pode ultrapassar os extremos cl’assicos
; (d) apontar onde, no intervalo
, a probabilidade 'e maior.
Passo 2
A equa\c{c}~ao de Schr"odinger independente do tempo para potencial harm’onico
'e
com
.
Passo 3
Para achar a energia
, calculamos
. Definindo
temos
com
,
Aplicando o operador
logo
.
Passo 4
O oscilador clássico atinge
como pontos de inversão, mas a função de onda quântica não se anula além desses pontos; ela decai exponencialmente sem chegar a zero. Portanto existe probabilidade não nula de encontrar a partícula em regiões “fora” do alcance clássico (efeito de penetração quântica).
Passo 5
A densidade de probabilidade é
, que é máxima em
. Assim, dentro de
, a maior probabilidade de detecção ocorre no ponto central
.
Resposta
(a)
(b)
(c) Sim: além de
, logo há penetração quântica em regiões “clássicamente proibidas.”
(d) A maior probabilidade ocorre em .
(c) Sim:
(d) A maior probabilidade ocorre em