A função de onda dada pela equação abaixo representa o estado fundamental de um átomo de massa m ligada a uma superfície cristalina (oscilador quântico)
psi(x)=(m omegapi hbar)^1 / 4 e^-12 m omegahbar x^2
(a) Escreva a equação de Schrödinger independente do tempo (use k=m omega^2 );
(b) Utilize a equação de onda de matéria do estado fundamental e a equação Schrödinger independente do tempo para determinar o valor da energia do estado fundamental.
(c) Um oscilador clássico oscila entre dois extremos, por exemplo, entre -a2 e a2. Considerando o comportamento ondulatório do átomo, ele pode ir além desses limites (justifique)?
(d) Dentro intervalo -a2<x<a2 onde é a maior probabilidade de encontrar a partícula considerando o comportamento quântico?

Passo 1

O enunciado fornece a função de onda do estado fundamental de um oscilador qu^antico unidimensional
psi(x)=l(momegapihbarr)^1/4e^-tfrac12,momegahbarx^2
e pede: (a) escrever a equa\c{c}~ao de Schr"odinger independente do tempo usando k=momega^2; (b) determinar a energia desse estado; (c) discutir se a part’icula pode ultrapassar os extremos cl’assicos pm a/2; (d) apontar onde, no intervalo -a/2<x<a/2, a probabilidade 'e maior.

Passo 2

A equa\c{c}~ao de Schr"odinger independente do tempo para potencial harm’onico V(x)=tfrac12k x^2 'e
-hbar^22md^2psidx^2+12k,x^2,psi=E,psi
com k=momega^2.

Passo 3

Para achar a energia E, calculamos psi''(x). Definindo
a=momega2hbar,
temos psi(x)=A e^-a x^2 com A=(momega/pihbar)^1/4,
dpsidx=-2a x,psi, d^2psidx^2=(4a^2x^2-2a),psi
Aplicando o operador
-hbar^22m(4a^2x^2-2a)psi +12momega^2x^2psi =(tfrachbaromega2),psi
logo E=hbaromega/2.

Passo 4

O oscilador clássico atinge pm a/2 como pontos de inversão, mas a função de onda quântica não se anula além desses pontos; ela decai exponencialmente sem chegar a zero. Portanto existe probabilidade não nula de encontrar a partícula em regiões “fora” do alcance clássico (efeito de penetração quântica).

Passo 5

A densidade de probabilidade é |psi(x)|^2=A^2e^-2a x^2, que é máxima em x=0. Assim, dentro de -a/2<x<a/2, a maior probabilidade de detecção ocorre no ponto central x=0.

Resposta

(a) -hbar^22md^2psidx^2+12k,x^2,psi=E,psi, k=momega^2
(b) E0=dfrachbaromega2
(c) Sim: psi(x)neq0 além de pm a/2, logo há penetração quântica em regiões “clássicamente proibidas.”
(d) A maior probabilidade ocorre em x=0.

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