Questão 4 (2.0 pontos)
Uma esfera condutora de raio
possui uma carga total Q , estando situada em um campo elétrico inicialmente uniforme,
, apontando ao longo do eixo-z para pontos distantes da esfera. Determine o potencial elétrico
para todos os pontos exteriores a esfera (
).
Passo 1
O enunciado pede o potencial elétrico V(r,θ) na região exterior (r>a) de uma esfera condutora de raio a carregada com carga total Q, imersa num campo elétrico uniforme E₀ k̂ que, longe da esfera, gera potencial –E₀ r cos θ. O conteúdo é resolução da equação de Laplace em coordenadas esféricas e aplicação de condições de contorno num condutor carregado.
Passo 2
Em região sem carga (r>a), V satisfaz a equação de Laplace. Como o problema tem simetria axial (em torno do eixo z), escrevemos a solução geral em termos de harmônicos esféricos com l=0 e l=1:
Passo 3
Escrevendo explicitamente,
Passo 4
Passo 5
onde A₀,B₀,A₁,B₁ são constantes a determinar.
Passo 6
Para r→∞, queremos recuperar o potencial do campo uniforme e da carga pontual:
Passo 7
Passo 8
Comparando com a forma geral, vemos que
Passo 9
Passo 10
No condutor (r=a), o potencial deve ser constante em θ, então o coeficiente de cos θ em r=a deve anular:
Passo 11
Passo 12
Substituindo A₁,B₁ e B₀ na expressão de V, obtemos o potencial final para r>a: