Questão 4 (2.0 pontos)

Uma esfera condutora de raio a possui uma carga total Q , estando situada em um campo elétrico inicialmente uniforme, E=E0 k, apontando ao longo do eixo-z para pontos distantes da esfera. Determine o potencial elétrico V(r, theta) para todos os pontos exteriores a esfera ( r>a ).

Passo 1

O enunciado pede o potencial elétrico V(r,θ) na região exterior (r>a) de uma esfera condutora de raio a carregada com carga total Q, imersa num campo elétrico uniforme E₀ k̂ que, longe da esfera, gera potencial –E₀ r cos θ. O conteúdo é resolução da equação de Laplace em coordenadas esféricas e aplicação de condições de contorno num condutor carregado.

Passo 2

Em região sem carga (r>a), V satisfaz a equação de Laplace. Como o problema tem simetria axial (em torno do eixo z), escrevemos a solução geral em termos de harmônicos esféricos com l=0 e l=1:

Passo 3

Escrevendo explicitamente,

Passo 4

V(r,theta)=A0+B0r+l(A1,r+B1r^2r)costheta,

Passo 5

onde A₀,B₀,A₁,B₁ são constantes a determinar.

Passo 6

Para r→∞, queremos recuperar o potencial do campo uniforme e da carga pontual:

Passo 7

V(r,theta)sim -E0,rcostheta+14pivarepsilon0Qr

Passo 8

Comparando com a forma geral, vemos que

Passo 9

A1=-E0, B0=Q4pivarepsilon0, A0=0

Passo 10

No condutor (r=a), o potencial deve ser constante em θ, então o coeficiente de cos θ em r=a deve anular:

Passo 11

A1,a+B1a^2=0Rightarrow B1=-A1,a^3=E0,a^3

Passo 12

Substituindo A₁,B₁ e B₀ na expressão de V, obtemos o potencial final para r>a:

Resposta

V(r,theta)=-E0l(r-a^3r^2r)costheta+14pivarepsilon0Qr, r>a

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