Considere uma esfera metálica maciça de raio R carregada positivamente e com distribuição homogênea de cargas. Qual é o campo elétrico no interior da esfera, a uma distância r do centro?

Passo 1

O exercício diz: “Temos uma esfera metálica maciça de raio R, carregada positivamente e em equilíbrio eletrostático. Qual é o campo elétrico no interior da esfera, a uma distância r do centro (com r<R)?”
Conteúdo: Condutores em equilíbrio e Lei de Gauss.
O que vamos usar:
  • Propriedade de condutores em regime estático (carga só fica na superfície).
  • Lei de Gauss para relacionar carga interna e campo elétrico.

Passo 2

Vamos lembrar da Lei de Gauss, que diz:
ointsuperfície Ecdot dA = Qintvarepsilon0 í
Isso significa que o fluxo do campo elétrico através de qualquer superfície fechada vale a carga interna Qint dividida por varepsilon0.

Passo 3

Teoria de condutores em equilíbrio eletrostático:
  1. Todo campo elétrico no interior de um material condutor em repouso é zero, ou seja, E=0 dentro do metal.
  2. As cargas livres se distribuem apenas na superfície externa do condutor.
Logo, se fazemos uma “bola” imaginária (superfície gaussiana) de raio r<R, ela está inteiramente dentro do metal e não “captura” nenhuma carga, pois todas ficam do lado de fora.

Passo 4

Aplicando Gauss para r<R:
  • Carga interna Qint = 0.
  • Fluxo oint Ecdot dA = E(r),4pi r^2.
Da lei de Gauss:
E(r),4pi r^2 = 0varepsilon0 ;;Longrightarrow;; E(r) = 0

Resposta

O campo elétrico no interior da esfera condutora (para r<R) é
boxedE(r) = 0

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