Calcule cada limite, se existir. Justifique sua resposta.
lim x 0^+ x(ln x)^2

Passo 1

O exercício pede para calcular limxto0^+ x(ln x)^2. O conteúdo aqui é limite envolvendo um produto que se torna da forma 0cdot(+infty). Para resolver, vamos usar uma troca de variável que transforme esse produto em uma forma mais familiar.

Passo 2

Fazemos a substituição t = -ln x. Quando xto0^+, ln xto-infty e, portanto, tto+infty. Além disso, x = e^-t e (ln x)^2 = t^2. Assim o limite fica:
limxto0^+ x(ln x)^2 = limtto+infty e^-tcdot t^2

Passo 3

Agora avaliamos limtto+infty t^2e^-t. Sabemos que uma função exponencial decrescente e^-t domina qualquer polinômio t^2, fazendo o produto ir a zero. Se quiser uma justificativa via L’Hôpital, reescreveríamos
limtto+infty t^2e^t
Aplicando L’Hôpital duas vezes, obtemos zero. Portanto, o limite original é zero.

Resposta

0

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