Decida quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor. Dentre as convergentes, tente determinar aquelas que são absolutamente convergentes.
integral0^1 d xx^alpha, alpha>0

Passo 1

Enunciado: precisamos decidir a convergência de integral0^1 x^-alpha,dx para alpha>0. O conteúdo é integrais impróprias com singularidade em zero e vamos usar definição por limite e a regra de potências.

Passo 2

Reescrevemos a integral como limite de integração num intervalo sem singularidade:
integral0^1 x^-alpha,dx = limvarepsilonto0+ integralvarepsilon^1 x^-alpha,dx

Passo 3

Para alphaneq1 aplicamos a antiderivada de x^-alpha:
integral x^-alpha,dx = x^1-alpha1-alpha
Então
integralvarepsilon^1 x^-alpha,dx = 1^1-alpha - varepsilon^1-alpha1-alpha

Passo 4

Agora analisamos o limite varepsilonto0+:
  • Se alpha<1, então 1-alpha>0 e varepsilon^1-alphato0. Logo a integral converge e vale 1/(1-alpha).
  • Se alpha>1, então 1-alpha<0 e varepsilon^1-alphato+infty. Logo diverge.
  • Para alpha=1,
integralvarepsilon^1 x^-1,dx = ln(1)-ln(varepsilon) = -ln(varepsilon)to+infty,
logo diverge.

Passo 5

Conclusão: a integral integral0^1 x^-alphadx é convergente apenas para 0, com valor 1/(1-alpha). Como o integrando é não negativo, essa convergência é também absoluta.

Resposta

Converge somente para 0<α<1, valendo 1/(1−α). Para α≥1 diverge; nos casos convergentes a convergência é absoluta.

Exercícios relacionados