Decida quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor. Dentre as convergentes, tente determinar aquelas que são absolutamente convergentes.
Passo 1
Enunciado: precisamos decidir a convergência de
para
. O conteúdo é integrais impróprias com singularidade em zero e vamos usar definição por limite e a regra de potências.
Passo 2
Reescrevemos a integral como limite de integração num intervalo sem singularidade:
Passo 3
Para
aplicamos a antiderivada de
:
Então
Passo 4
Agora analisamos o limite
:
- Se
, então e . Logo a integral converge e vale . - Se
, então e . Logo diverge. - Para
,
logo diverge.
Passo 5
Conclusão: a integral
é convergente apenas para
, com valor
. Como o integrando é não negativo, essa convergência é também absoluta.
Resposta
Converge somente para 0<α<1, valendo 1/(1−α). Para α≥1 diverge; nos casos convergentes a convergência é absoluta.