Decida quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor. Dentre as convergentes, tente determinar aquelas que são absolutamente convergentes.
Passo 1
O enunciado apresenta a integral imprópria de 0 a 1 de
. O conteúdo envolvido é análise de integrabilidade em pontos singulares (x=0 e x=1) e cálculo via substituição trigonométrica. Vamos precisar estudar o comportamento da função perto das extremidades e depois aplicar uma mudança de variável adequada.
Passo 2
Primeiro, reescrevemos o integrando como
. Nos pontos x→0 e x→1, temos comportamentos locais semelhantes a
e
, respectivamente. Como
e
são convergentes (pois a potência
), concluímos que a integral original é convergente.
Passo 3
Para calcular o valor, usamos a substituição trigonométrica
. Então
e
Passo 4
Assim o integrando vira
Passo 5
Os limites mudam de x=0→θ=0 e x=1→θ=
. Logo
Passo 6
Como a função é positiva no intervalo, a integral converge absolutamente (a integral do valor absoluto é a própria integral).
Resposta
A integral converge, converge absolutamente e seu valor é
.