Decida quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor. Dentre as convergentes, tente determinar aquelas que são absolutamente convergentes.
integral0^1 d xraizx-x^2

Passo 1

O enunciado apresenta a integral imprópria de 0 a 1 de 1raizx - x^2,dx. O conteúdo envolvido é análise de integrabilidade em pontos singulares (x=0 e x=1) e cálculo via substituição trigonométrica. Vamos precisar estudar o comportamento da função perto das extremidades e depois aplicar uma mudança de variável adequada.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos o integrando como 1raizx(1-x). Nos pontos x→0 e x→1, temos comportamentos locais semelhantes a x^-1/2 e (1-x)^-1/2, respectivamente. Como integral0^varepsilonx^-1/2dx e integral1-varepsilon^1(1-x)^-1/2dx são convergentes (pois a potência -1/2>-1), concluímos que a integral original é convergente.

Passo 3

Para calcular o valor, usamos a substituição trigonométrica x=sin^2theta. Então
dx=2sinthetacostheta,dtheta,
e
raizx(1-x)=raizsin^2thetacos^2theta=sinthetacostheta(thetain[0,tfracpi2])

Passo 4

Assim o integrando vira
dxraizx(1-x)=2sinthetacostheta,dthetasinthetacostheta=2,dtheta

Passo 5

Os limites mudam de x=0→θ=0 e x=1→θ= tfracpi2. Logo
integral0^1dxraizx(1-x)=integral0^tfracpi22,dtheta=2l[thetar]0^tfracpi2=pi

Passo 6

Como a função é positiva no intervalo, a integral converge absolutamente (a integral do valor absoluto é a própria integral).

Resposta

A integral converge, converge absolutamente e seu valor é pi.

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