Calcule cada um dos limites abaixo.
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Estamos trabalhando com limites envolvendo funções trigonométricas e comportamento quando
se aproxima de zero. Para resolver isso, vamos usar o fato de que
para qualquer
, o que nos ajudará a limitar a expressão e encontrar o limite.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
. Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1:
Passo 3
Agora, multiplicamos todos os termos da desigualdade por
. Como
está se aproximando de 0, vamos considerar
e
separadamente para garantir que a multiplicação não inverta a desigualdade.
Para
:
Para
:
Passo 4
Observamos que, à medida que
se aproxima de 0, tanto
quanto
se aproximam de 0. Então, pela regra do Sanduíche (ou Teorema do Aperto), se uma função está entre duas funções que ambas tendem a 0, a função também tende a 0.
Passo 5
Aplicando o Teorema do Sanduíche:
Portanto,
Resposta
O limite
é igual a 0.