Calcule cada um dos limites abaixo.
lim x 0 x sen(1x)

Passo 1

Vamos resolver o limite limx 0 x sin(1x). Estamos trabalhando com limites envolvendo funções trigonométricas e comportamento quando x se aproxima de zero. Para resolver isso, vamos usar o fato de que |sin(y)| <= 1 para qualquer y, o que nos ajudará a limitar a expressão e encontrar o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função sin(1x). Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1:
-1 <= sin(1x) <= 1

Passo 3

Agora, multiplicamos todos os termos da desigualdade por x. Como x está se aproximando de 0, vamos considerar x > 0 e x < 0 separadamente para garantir que a multiplicação não inverta a desigualdade.
Para x > 0:
- x <= x sin(1x) <= x
Para x < 0:
x <= x sin(1x) <= -x

Passo 4

Observamos que, à medida que x se aproxima de 0, tanto x quanto -x se aproximam de 0. Então, pela regra do Sanduíche (ou Teorema do Aperto), se uma função está entre duas funções que ambas tendem a 0, a função também tende a 0.

Passo 5

Aplicando o Teorema do Sanduíche:
limx 0 -x = 0 e limx 0 x = 0
Portanto,
limx 0 x sin(1x) = 0

Resposta

O limite limx 0 x sin(1x) é igual a 0.

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