Considerando o valor de
seu número de chamada na Lista de EDO. Resolva a seguintes EDOs, usando séries de Potências:
Ptos
.
Passo 1
Então, temos um exercício de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) que precisa ser resolvido usando séries de potências. A equação dada é:
Aqui,
é um parâmetro específico da lista de EDOs. Para resolver essa equação, vamos usar o método das séries de potências, que é útil quando as soluções das EDOs não podem ser encontradas facilmente por métodos tradicionais.
Passo 2
Primeiro, assumimos que a solução
pode ser expressa como uma série de potências em torno de
:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos determinar.
Passo 3
Calculamos as derivadas de
:
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação diferencial original:
Passo 5
Simplificamos cada termo para que todas as séries tenham a mesma potência de
. Ajustamos os índices das somas:
Passo 6
Agora, combinamos todas as somas:
Para que essa igualdade seja válida para todo
, cada coeficiente de
deve ser igual a zero:
Passo 7
Rearranjamos a equação para encontrar uma relação de recorrência:
Passo 8
Para encontrar a solução completa, precisamos determinar os coeficientes
. Isso geralmente requer condições iniciais, como
e
. Sem essas condições, a solução será apresentada em termos dos coeficientes gerais.
Resposta
A solução geral da equação diferencial
usando séries de potências é dada por:
onde os coeficientes
são determinados pela relação de recorrência:
Os valores específicos de
dependem das condições iniciais fornecidas.