Considerando o valor de N0 seu número de chamada na Lista de EDO. Resolva a seguintes EDOs, usando séries de Potências:
(1,5 Ptos ) y^prime prime(x)-N0 x y^prime(x)+(N0-33) y(x)=0.

Passo 1

Então, temos um exercício de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) que precisa ser resolvido usando séries de potências. A equação dada é:
y''(x) - N0 x y'(x) + (N0 - 33) y(x) = 0
Aqui, N0 é um parâmetro específico da lista de EDOs. Para resolver essa equação, vamos usar o método das séries de potências, que é útil quando as soluções das EDOs não podem ser encontradas facilmente por métodos tradicionais.

Passo 2

Primeiro, assumimos que a solução y(x) pode ser expressa como uma série de potências em torno de x = 0 :
y(x) = sumk=0^infty ak x^k
Aqui, ak são os coeficientes que precisamos determinar.

Passo 3

Calculamos as derivadas de y(x) :
y'(x) = sumk=1^infty k ak x^k-1
y''(x) = sumk=2^infty k(k-1) ak x^k-2

Passo 4

Substituímos y(x) , y'(x) e y''(x) na equação diferencial original:
sumk=2^infty k(k-1) ak x^k-2 - N0 x sumk=1^infty k ak x^k-1 + (N0 - 33) sumk=0^infty ak x^k = 0

Passo 5

Simplificamos cada termo para que todas as séries tenham a mesma potência de x . Ajustamos os índices das somas:
sumk=0^infty (k+2)(k+1) ak+2 x^k - N0 sumk=0^infty (k+1) ak+1 x^k + (N0 - 33) sumk=0^infty ak x^k = 0

Passo 6

Agora, combinamos todas as somas:
sumk=0^infty [ (k+2)(k+1) ak+2 - N0 (k+1) ak+1 + (N0 - 33) ak ] x^k = 0
Para que essa igualdade seja válida para todo x , cada coeficiente de x^k deve ser igual a zero:
(k+2)(k+1) ak+2 - N0 (k+1) ak+1 + (N0 - 33) ak = 0

Passo 7

Rearranjamos a equação para encontrar uma relação de recorrência:
ak+2 = N0 (k+1) ak+1 - (N0 - 33) ak(k+2)(k+1)

Passo 8

Para encontrar a solução completa, precisamos determinar os coeficientes ak . Isso geralmente requer condições iniciais, como y(0) e y'(0) . Sem essas condições, a solução será apresentada em termos dos coeficientes gerais.

Resposta

A solução geral da equação diferencial y''(x) - N0 x y'(x) + (N0 - 33) y(x) = 0 usando séries de potências é dada por:
y(x) = sumk=0^infty ak x^k
onde os coeficientes ak são determinados pela relação de recorrência:
ak+2 = N0 (k+1) ak+1 - (N0 - 33) ak(k+2)(k+1)
Os valores específicos de ak dependem das condições iniciais fornecidas.

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