Limites do tipo
com o numerador e o denominador se aproximando de zero são chamados de indeterminações do tipo
. Eles são delicados porque não podemos aplicar a regra do quociente. Se
e
são polinômios, então
, e portanto
é uma raiz do numerador e do denominador. Deste modo, podemos fatorá-los na forma
, com
sendo um polinômio de grau menor. Em alguns casos, isso permite eliminar a indeterminação, como no exemplo abaixo
Utilize a ideia acima para calcular os limites a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. Aqui, estamos lidando com limites que resultam em uma indeterminação do tipo
. O que a gente vai precisar é fatorar tanto o numerador quanto o denominador para simplificar a expressão e eliminar essa indeterminação.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o numerador, que é
. Esse já está na forma mais simples, então nada para fatorar aqui.
Passo 3
Agora, vamos para o denominador:
. Isso é uma diferença de cubos, e a gente pode fatorar usando a fórmula:
Aqui,
e
. Então:
Passo 4
Agora que fatoramos o denominador, nossa expressão fica:
A gente pode cancelar o
que está no numerador e no denominador, pois
(estamos considerando o limite quando
se aproxima de 1, mas não exatamente igual a 1).
Passo 5
Após o cancelamento, a expressão simplifica para:
Agora, podemos calcular o limite substituindo
por 1:
Resposta
O limite é igual a
.