Limites do tipo lim x a f(x)g(x) com o numerador e o denominador se aproximando de zero são chamados de indeterminações do tipo 0 / 0. Eles são delicados porque não podemos aplicar a regra do quociente. Se f e g são polinômios, então f(a)=g(a)=0, e portanto x=a é uma raiz do numerador e do denominador. Deste modo, podemos fatorá-los na forma (x-a) p(x), com p sendo um polinômio de grau menor. Em alguns casos, isso permite eliminar a indeterminação, como no exemplo abaixo
lim x 3 x^2-4 x+36-2 x=lim x 3 (x-3)(x-1)-2(x-3)=lim x 3 x-1-2=2-2=-1
Utilize a ideia acima para calcular os limites a seguir.
lim t 1 t-1t^3-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim t 1 t-1t^3-1. Aqui, estamos lidando com limites que resultam em uma indeterminação do tipo 0/0. O que a gente vai precisar é fatorar tanto o numerador quanto o denominador para simplificar a expressão e eliminar essa indeterminação.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador, que é t - 1. Esse já está na forma mais simples, então nada para fatorar aqui.

Passo 3

Agora, vamos para o denominador: t^3 - 1. Isso é uma diferença de cubos, e a gente pode fatorar usando a fórmula:
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
Aqui, a = t e b = 1. Então:
t^3 - 1 = (t - 1)(t^2 + t cdot 1 + 1^2) = (t - 1)(t^2 + t + 1)

Passo 4

Agora que fatoramos o denominador, nossa expressão fica:
t - 1(t - 1)(t^2 + t + 1)
A gente pode cancelar o t - 1 que está no numerador e no denominador, pois t neq 1 (estamos considerando o limite quando t se aproxima de 1, mas não exatamente igual a 1).

Passo 5

Após o cancelamento, a expressão simplifica para:
1t^2 + t + 1
Agora, podemos calcular o limite substituindo t por 1:
11^2 + 1 + 1 = 11 + 1 + 1 = 13

Resposta

O limite é igual a 13.

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