1. Calcule cada um dos limites abaixo pela definição formal de limite.
    (a) \lim _{x \rightarrow 1} \frac{2+4 x}{3}
    (b) \lim _{x \rightarrow 10}\left(3-\frac{4}{5} x\right)
    (c) \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}+x-6}{x-2}
    (d) \lim _{x \rightarrow 1.5} \frac{9-4 x^{2}}{3+2 x}
    (e) \lim _{x \rightarrow a} x
    (f) \lim _{x \rightarrow a} c
    (g) \lim _{x \rightarrow 0} x^{2}
    (h) \lim _{x \rightarrow 0} x^{3}
    (i) \lim _{x \rightarrow 0}|x|
    (j) \lim _{x \rightarrow 6^{+}} \sqrt{6+x}
    (k) \lim _{x \rightarrow 2}\left(x^{2}-4 x+5\right)
    (l) \lim _{x \rightarrow 2}\left(x^{2}+2 x-7\right)

Passo 1

O enunciado pede: calcular, pela definição formal de limite, os limites listados de (a) a (l). Vou enumerar claramente o que cada item pergunta e quais informações temos:
(a) \lim_{x\to 1}\dfrac{2+4x}{3}
(b) \lim_{x\to 10}\left(3-\dfrac{4}{5}x\right)
(c) \lim_{x\to 2}\dfrac{x^{2}+x-6}{x-2}
(d) \lim_{x\to 1{,}5}\dfrac{9-4x^{2}}{3+2x} (note que 1{,}5=\tfrac{3}{2})
(e) \lim_{x\to a} x
(f) \lim_{x\to a} c (onde c é constante)
(g) \lim_{x\to 0} x^{2}
(h) \lim_{x\to 0} x^{3}
(i) \lim_{x\to 0} |x|
(j) \lim_{x\to 6^{+}} \sqrt{6+x} (limite pela direita)
(k) \lim_{x\to 2}\left(x^{2}-4x+5\right)
(l) \lim_{x\to 2}\left(x^{2}+2x-7\right)
Todas as partes pedem prova “pela definição formal de limite” — isto é, usar a definição epsilon-delta: para cada \varepsilon>0 escolher \delta>0 que garanta a condição do limite. Nos passos seguintes farei uma explicação curta da definição e, para cada item, exibirei o cálculo do valor do limite e uma prova epsilon-delta mostrando como escolher \delta.

Passo 2

Primeiro, a definição formal (curtinha e amigável): dizer que \lim_{x\to a} f(x)=L significa que
\text{para todo }\varepsilon>0\text{ existe }\delta>0\text{ tal que, se }0<|x-a|<\delta\text{ então }|f(x)-L|<\varepsilon.ã
Interpretação prática: dado um “erro permitido” \varepsilon no valor de f, nós precisamos produzir um “intervalo” em torno de a (tamanho \delta) tal que qualquer x nesse intervalo (exceto possivelmente a se f não estiver definida) leve f(x) a ficar dentro de \varepsilon de L. Nas funções lineares e polinomiais isso costuma ser direto: podemos manipular |f(x)-L| e escrever como uma expressão em |x-a| e, daí, escolher \delta em função de \varepsilon.
Agora vou resolver cada item com uma pequena prova epsilon-delta e explicações didáticas.

Passo 3

(a) Calculamos o valor do limite primeiro: a função é linear, então basta substituir x=1:
\frac{2+4\cdot 1}{3}=\frac{6}{3}=2.
Prova epsilon-delta: queremos |\tfrac{2+4x}{3}-2|<\varepsilon. Calcule:
\left|\frac{2+4x}{3}-2\right|=\left|\frac{2+4x-6}{3}\right|=\left|\frac{4(x-1)}{3}\right|=\frac{4}{3}|x-1|.
Para garantir \frac{4}{3}|x-1|<\varepsilon basta pedir |x-1|<\dfrac{3}{4}\varepsilon. Logo podemos escolher
\delta=\frac{3}{4}\varepsilon.
Então, para todo \varepsilon>0, se 0<|x-1|<\delta teremos |f(x)-2|<\varepsilon. Portanto o limite é 2.

Passo 4

(b) Valor do limite pela substituição: 3-\dfrac{4}{5}\cdot 10=3-8=-5.
Prova epsilon-delta: queremos \left|3-\dfrac{4}{5}x -(-5)\right|<\varepsilon, isto é
\left|3-\frac{4}{5}x +5\right|=\left|8-\frac{4}{5}x\right|=\left|\frac{4}{5}(10-x)\right|=\frac{4}{5}|x-10|.
Para ter \frac{4}{5}|x-10|<\varepsilon escolhemos
\delta=\frac{5}{4}\varepsilon.
Então o limite é -5.

Passo 5

(c) Primeiro simplify: para x\neq 2,
\frac{x^{2}+x-6}{x-2}=\frac{(x-2)(x+3)}{x-2}=x+3.
Logo, ao aproximar x\to 2 (com x\neq 2) a expressão vale x+3 e o valor no limite é 2+3=5.
Prova epsilon-delta: para x\neq 2,
\left|\frac{x^{2}+x-6}{x-2}-5\right|=|x+3-5|=|x-2|.
Bastará escolher \delta=\varepsilon. De fato, se 0<|x-2|<\delta=\varepsilon então |f(x)-5|=|x-2|<\varepsilon. Assim o limite é 5.

Passo 6

(d) Simplifique a expressão: 9-4x^{2}=(3-2x)(3+2x), então para x\neq -\tfrac{3}{2} temos
\frac{9-4x^{2}}{3+2x}=3-2x.
Aqui o ponto de interesse é x\to 1{,}5=\tfrac{3}{2}. Substituindo:
3-2\cdot \tfrac{3}{2}=3-3=0.
Prova epsilon-delta: para x próximos de \tfrac{3}{2} (e x\neq -\tfrac{3}{2}, o que é irrelevante aqui) temos
\left|\frac{9-4x^{2}}{3+2x}-0\right|=|3-2x|=2\left|x-\tfrac{3}{2}\right|.
Para garantir 2|x-\tfrac{3}{2}|<\varepsilon basta escolher
\delta=\frac{\varepsilon}{2}.
Logo o limite é 0.

Passo 7

(e) Queremos \lim_{x\to a} x. É claro que o valor esperado é a. Prova epsilon-delta: calcule
|x-a|<\varepsilon
é exatamente a condição que precisamos. Assim, escolhendo \delta=\varepsilon, se 0<|x-a|<\delta então |x-a|<\varepsilon. Portanto o limite é a.

Passo 8

(f) Para função constante f(x)=c para todo x, o candidato ao limite em a é c. Prova epsilon-delta: para qualquer x,
|f(x)-c|=|c-c|=0<\varepsilon
para todo \varepsilon>0. Assim qualquer \delta>0 serve (por exemplo \delta=1). Portanto \lim_{x\to a} c = c.

Passo 9

(g) \lim_{x\to 0} x^{2}=0. Prova epsilon-delta: temos
|x^{2}-0|=|x|^{2}.
Queremos |x|^{2}<\varepsilon. Se escolhermos \delta=\sqrt{\varepsilon} então, quando 0<|x|<\delta, obtemos |x|^{2}<\delta^{2}=\varepsilon. Logo o limite é 0.
Observação didática: às vezes é conveniente forçar também \delta\le 1 para controlar outros fatores, mas aqui \delta=\sqrt{\varepsilon} é suficiente.

Passo 10

(h) \lim_{x\to 0} x^{3}=0. Prova epsilon-delta: note que
|x^{3}-0|=|x|^{3}.
Escolha \delta=\varepsilon^{1/3}. Então 0<|x|<\delta implica |x|^{3}<\delta^{3}=\varepsilon. Assim o limite é 0.

Passo 11

(i) \lim_{x\to 0} |x| = 0. Prova epsilon-delta: temos |\,|x|-0\,|=|x|. Basta escolher \delta=\varepsilon. Então se 0<|x|<\delta temos |\,|x|-0\,|<\varepsilon. Logo o limite é 0.

Passo 12

(j) Primeiro calcule o valor candidato: quando x\to 6 (pela direita) a expressão \sqrt{6+x} tende a \sqrt{12}=2\sqrt{3}. Agora a prova one-sided epsilon-delta.
Queremos provar que, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, se 0<x-6<\delta (note a condição direita: x>6), então
\left|\sqrt{6+x}-2\sqrt{3}\right|<\varepsilon.
Use a identidade de diferença de raízes:
\left|\sqrt{6+x}-2\sqrt{3}\right|=\frac{|(6+x)-12|}{\sqrt{6+x}+2\sqrt{3}}=\frac{|x-6|}{\sqrt{6+x}+2\sqrt{3}}.
Para controlar o denominador, obrigamos x a estar num intervalo pequeno à direita de 6. Por exemplo, escolha \delta_{1}=1. Se 0<x-6<\delta_{1} então 6<x<7 e assim \sqrt{6+x}\ge \sqrt{12}=2\sqrt{3}. Logo
\sqrt{6+x}+2\sqrt{3}\ge 2\sqrt{3}+2\sqrt{3}=4\sqrt{3}.
(uma estimativa conservadora). Portanto
\left|\sqrt{6+x}-2\sqrt{3}\right|\le \frac{|x-6|}{4\sqrt{3}}.
Para garantir \frac{|x-6|}{4\sqrt{3}}<\varepsilon basta ter |x-6|<4\sqrt{3}\,\varepsilon. Assim podemos escolher
\delta=\min\{1,\;4\sqrt{3}\,\varepsilon\},
e tomar a condição unilatera 0<x-6<\delta. Com isso obtemos |\sqrt{6+x}-2\sqrt{3}|<\varepsilon. Logo o limite pela direita é 2\sqrt{3}.
Observação: usei uma bound simples no denominador; qualquer escolha que garanta um limite positivo para o denominador perto de x=6 funciona.

Passo 13

(k) Calcule o valor por substituição: em x=2,
2^{2}-4\cdot 2+5=4-8+5=1.
Prova epsilon-delta: observe
|x^{2}-4x+5-1|=|x^{2}-4x+4|=|(x-2)^{2}|=|x-2|^{2}.
Para fazer |x-2|^{2}<\varepsilon escolha \delta=\sqrt{\varepsilon}. Então se 0<|x-2|<\delta obtemos |f(x)-1|<\varepsilon. Portanto o limite é 1.

Passo 14

(l) Calcule o valor por substituição: em x=2,
2^{2}+2\cdot 2-7=4+4-7=1.
Prova epsilon-delta: escreva a diferença
|x^{2}+2x-7-1|=|x^{2}+2x-8|=|(x-2)(x+4)|=|x-2|\,|x+4|.
Precisamos controlar o fator |x+4| quando x está perto de 2. Se garantirmos |x-2|<1 então 1<x<3 e assim |x+4|\le 3+4=7. Portanto, sob a condição |x-2|<1,
|f(x)-1|\le 7|x-2|.
Para ter 7|x-2|<\varepsilon basta escolher |x-2|<\varepsilon/7. Então tomamos
\delta=\min\left\{1,\;\frac{\varepsilon}{7}\right\}.
Com isso, se 0<|x-2|<\delta obtemos |f(x)-1|<\varepsilon. Logo o limite é 1.

Resposta

(a) 2
(b) -5
(c) 5
(d) 0
(e) a
(f) c
(g) 0
(h) 0
(i) 0
(j) 2\sqrt{3}
(k) 1
(l) 1

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