- Calcule o limite ou demonstre que não existe
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
Passo 1
O enunciado pede que calculemos — ou demonstremos que não existe — os limites a seguir:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
As informação dada são as expressões das frações e os pontos para os quais devemos tomar os limites. Não há figuras nem dados adicionais.
Passo 2
(a)
.
Explicação útil (fatoração de quadrática): para fatorar uma quadrática
procuramos dois números que multiplicam
e somam
. Aqui
e
: os números são
e
.
Fatorando o numerador:
Para
podemos cancelar
e obter
Como
é contínua, o limite é o valor em
:
Passo 3
(b)
.
Fatoramos numerador e denominador. Numerador:
. Denominador:
.
Cancelando o fator comum
(válido para
):
Substituindo
:
Passo 4
(c)
.
Primeiro tentamos substituição direta: numerador em
é
, que é diferente de zero, enquanto o denominador vai para
. Quando o numerador tende para um número não nulo e o denominador tende para
, a fração tende para infinito com sinal dependendo do lado de aproximação.
Análise de sinais: perto de
o numerador é próximo de
. O denominador
é negativo à esquerda de
e positivo à direita. Assim:
- limite pela esquerda é
, - limite pela direita é
.
Como os limites laterais não coincidem (nem são um mesmo infinito), o limite \emph{não existe} (diverge).
Passo 5
(d)
.
Fatoramos: numerador
. Denominador
.
Para
e
podemos cancelar
, obtendo
Agora observamos o comportamento ao aproximar
de
. Substituir diretamente dá denominador zero e numerador
, ou seja forma
. Olhando os sinais:
- Para
: é aproximadamente (negativo) e é negativo pequeno → fração é positiva e tende a . - Para
: é negativo e é positivo pequeno → fração é negativa e tende a .
Os limites laterais são diferentes (um
, o outro
), logo o limite \emph{não existe}.
Passo 6
(e)
.
Fatoramos:
. O denominador
fatoriza como
(verificando:
, soma dos meios
, produto
).
Cancelando
(válido para
):
Substituindo
:
Passo 7
(f)
.
Fatoramos: numerador
. Denominador
.
Cancelando
(válido para
):
Substituindo
:
Passo 8
(g)
.
Aqui é prático expandir o quadrado. Fórmula:
. Com
e
:
Subtraindo
do numerador:
Dividindo por
(para
):
Tomando
:
Passo 9
(h)
.
Usamos a expansão de cubo:
. Com
,
:
Subtraindo
:
Dividindo por
:
Tomando
:
Passo 10
(i)
.
Observação:
é soma de cubos
. Fórmula:
. Aplicando com
:
Cancela
para
:
Substituindo
:
Passo 11
(j)
.
Usamos fatoração por diferença de potências. Para
sempre há um fator
:
Cancelando
(para
):
Agora substituímos
:
Passo 12
(k)
.
Isto é uma forma
. Técnica útil: multiplicar numerador e denominador pelo conjugado
. Fazemos:
Agora
dá
Passo 13
(l)
.
Também é
. Multiplicamos pelo conjugado
:
Note que
, portanto
Substituindo
:
Passo 14
(m)
.
Primeiro simplificamos a expressão algébrica. No numerador fazemos a soma de frações:
Portanto a expressão inteira é
Observando
, para
podemos cancelar
:
Agora substituímos
:
Resposta
(a)
(b)
(c) não existe
(d) não existe
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(b)
(c) não existe
(d) não existe
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)