1. Calcule o limite ou demonstre que não existe
    (a) \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}+x-6}{x-2}
    (b) \lim _{x \rightarrow-4} \frac{x^{2}+5 x+4}{x^{2}+3 x-4}
    (c) \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-x+6}{x-2}
    (d) \lim _{x \rightarrow-1} \frac{x^{2}-4 x}{x^{2}-3 x-4}
    (e) \lim _{t \rightarrow-3} \frac{t^{2}-9}{2 t^{2}+7 t+3}
    (f) \lim _{x \rightarrow-1} \frac{2 x^{2}+3 x+1}{x^{2}-2 x-3}
    (g) \lim _{h \rightarrow 0} \frac{(-5+h)^{2}-25}{h}
    (h) \lim _{h \rightarrow 0} \frac{(2+h)^{3}-8}{h}
    (i) \lim _{x \rightarrow-2} \frac{x+2}{x^{3}+8}
    (j) \lim _{t \rightarrow 1} \frac{t^{4}-1}{t^{3}-1}
    (k) \lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{9+h}-3}{h}
    (l) \lim _{u \rightarrow 2} \frac{\sqrt{4 u+1}-3}{u-2}
    (m) \lim _{x \rightarrow-4} \frac{\frac{1}{4}+\frac{1}{x}}{4+x}

Passo 1

O enunciado pede que calculemos — ou demonstremos que não existe — os limites a seguir:
(a) \lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}+x-6}{x-2}
(b) \lim_{x\rightarrow -4}\frac{x^{2}+5x+4}{x^{2}+3x-4}
(c) \lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}-x+6}{x-2}
(d) \lim_{x\rightarrow -1}\frac{x^{2}-4x}{x^{2}-3x-4}
(e) \lim_{t\rightarrow -3}\frac{t^{2}-9}{2t^{2}+7t+3}
(f) \lim_{x\rightarrow -1}\frac{2x^{2}+3x+1}{x^{2}-2x-3}
(g) \lim_{h\rightarrow 0}\frac{(-5+h)^{2}-25}{h}
(h) \lim_{h\rightarrow 0}\frac{(2+h)^{3}-8}{h}
(i) \lim_{x\rightarrow -2}\frac{x+2}{x^{3}+8}
(j) \lim_{t\rightarrow 1}\frac{t^{4}-1}{t^{3}-1}
(k) \lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sqrt{9+h}-3}{h}
(l) \lim_{u\rightarrow 2}\frac{\sqrt{4u+1}-3}{u-2}
(m) \lim_{x\rightarrow -4}\frac{\frac{1}{4}+\frac{1}{x}}{4+x}
As informação dada são as expressões das frações e os pontos para os quais devemos tomar os limites. Não há figuras nem dados adicionais.

Passo 2

(a) \lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}+x-6}{x-2}.
Explicação útil (fatoração de quadrática): para fatorar uma quadrática x^{2}+bx+c procuramos dois números que multiplicam c e somam b. Aqui c=-6 e b=1: os números são 3 e -2.
Fatorando o numerador:
x^{2}+x-6=(x-2)(x+3).
Para x\neq 2 podemos cancelar x-2 e obter
\frac{x^{2}+x-6}{x-2}=x+3.
Como x+3 é contínua, o limite é o valor em x=2:
\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}+x-6}{x-2}=2+3=5.

Passo 3

(b) \lim_{x\rightarrow -4}\frac{x^{2}+5x+4}{x^{2}+3x-4}.
Fatoramos numerador e denominador. Numerador: x^{2}+5x+4=(x+1)(x+4). Denominador: x^{2}+3x-4=(x+4)(x-1).
Cancelando o fator comum x+4 (válido para x\neq -4):
\frac{x^{2}+5x+4}{x^{2}+3x-4}=\frac{x+1}{x-1}.
Substituindo x=-4:
\lim_{x\rightarrow -4}\frac{x^{2}+5x+4}{x^{2}+3x-4}=\frac{-4+1}{-4-1}=\frac{-3}{-5}=\frac{3}{5}.

Passo 4

(c) \lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}-x+6}{x-2}.
Primeiro tentamos substituição direta: numerador em x=2 é 2^{2}-2+6=4-2+6=8, que é diferente de zero, enquanto o denominador vai para 0. Quando o numerador tende para um número não nulo e o denominador tende para 0, a fração tende para infinito com sinal dependendo do lado de aproximação.
Análise de sinais: perto de 2 o numerador é próximo de 8>0. O denominador x-2 é negativo à esquerda de 2 e positivo à direita. Assim:
  • limite pela esquerda é -\infty,
  • limite pela direita é +\infty.
Como os limites laterais não coincidem (nem são um mesmo infinito), o limite \emph{não existe} (diverge).

Passo 5

(d) \lim_{x\rightarrow -1}\frac{x^{2}-4x}{x^{2}-3x-4}.
Fatoramos: numerador x^{2}-4x=x(x-4). Denominador x^{2}-3x-4=(x-4)(x+1).
Para x\neq 4 e x\neq -1 podemos cancelar x-4, obtendo
\frac{x^{2}-4x}{x^{2}-3x-4}=\frac{x}{x+1}.
Agora observamos o comportamento ao aproximar x de -1. Substituir diretamente dá denominador zero e numerador -1, ou seja forma -1/0. Olhando os sinais:
  • Para x\to -1^{-}: x é aproximadamente -1 (negativo) e x+1 é negativo pequeno → fração é positiva e tende a +\infty.
  • Para x\to -1^{+}: x é negativo e x+1 é positivo pequeno → fração é negativa e tende a -\infty.
Os limites laterais são diferentes (um +\infty, o outro -\infty), logo o limite \emph{não existe}.

Passo 6

(e) \lim_{t\rightarrow -3}\frac{t^{2}-9}{2t^{2}+7t+3}.
Fatoramos: t^{2}-9=(t-3)(t+3). O denominador 2t^{2}+7t+3 fatoriza como (2t+1)(t+3) (verificando: 2t\cdot t=2t^{2}, soma dos meios 2t\cdot 3 + 1\cdot t =6t+t=7t, produto 1\cdot 3=3).
Cancelando t+3 (válido para t\neq -3):
\frac{t^{2}-9}{2t^{2}+7t+3}=\frac{t-3}{2t+1}.
Substituindo t=-3:
\lim_{t\rightarrow -3}\frac{t^{2}-9}{2t^{2}+7t+3}=\frac{-3-3}{2(-3)+1}=\frac{-6}{-5}=\frac{6}{5}.

Passo 7

(f) \lim_{x\rightarrow -1}\frac{2x^{2}+3x+1}{x^{2}-2x-3}.
Fatoramos: numerador 2x^{2}+3x+1=(2x+1)(x+1). Denominador x^{2}-2x-3=(x-3)(x+1).
Cancelando x+1 (válido para x\neq -1):
\frac{2x^{2}+3x+1}{x^{2}-2x-3}=\frac{2x+1}{x-3}.
Substituindo x=-1:
\lim_{x\rightarrow -1}\frac{2x^{2}+3x+1}{x^{2}-2x-3}=\frac{2(-1)+1}{-1-3}=\frac{-2+1}{-4}=\frac{-1}{-4}=\frac{1}{4}.

Passo 8

(g) \lim_{h\rightarrow 0}\frac{(-5+h)^{2}-25}{h}.
Aqui é prático expandir o quadrado. Fórmula: (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}. Com a=-5 e b=h:
(-5+h)^{2}=25-10h+h^{2}.
Subtraindo 25 do numerador:
(-5+h)^{2}-25=-10h+h^{2}=h(-10+h).
Dividindo por h (para h\neq 0):
\frac{(-5+h)^{2}-25}{h}=-10+h.
Tomando h\to 0:
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(-5+h)^{2}-25}{h}=-10.

Passo 9

(h) \lim_{h\rightarrow 0}\frac{(2+h)^{3}-8}{h}.
Usamos a expansão de cubo: (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}. Com a=2, b=h:
(2+h)^{3}=8+12h+6h^{2}+h^{3}.
Subtraindo 8:
(2+h)^{3}-8=12h+6h^{2}+h^{3}=h(12+6h+h^{2}).
Dividindo por h:
\frac{(2+h)^{3}-8}{h}=12+6h+h^{2}.
Tomando h\to 0:
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(2+h)^{3}-8}{h}=12.

Passo 10

(i) \lim_{x\rightarrow -2}\frac{x+2}{x^{3}+8}.
Observação: x^{3}+8 é soma de cubos x^{3}+2^{3}. Fórmula: a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2}). Aplicando com b=2:
x^{3}+8=(x+2)(x^{2}-2x+4).
Cancela x+2 para x\neq -2:
\frac{x+2}{x^{3}+8}=\frac{1}{x^{2}-2x+4}.
Substituindo x=-2:
\lim_{x\rightarrow -2}\frac{x+2}{x^{3}+8}=\frac{1}{(-2)^{2}-2(-2)+4}=\frac{1}{4+4+4}=\frac{1}{12}.

Passo 11

(j) \lim_{t\rightarrow 1}\frac{t^{4}-1}{t^{3}-1}.
Usamos fatoração por diferença de potências. Para t^{n}-1 sempre há um fator t-1:
t^{4}-1=(t-1)(t^{3}+t^{2}+t+1),
t^{3}-1=(t-1)(t^{2}+t+1).
Cancelando t-1 (para t\neq 1):
\frac{t^{4}-1}{t^{3}-1}=\frac{t^{3}+t^{2}+t+1}{t^{2}+t+1}.
Agora substituímos t=1:
\lim_{t\rightarrow 1}\frac{t^{4}-1}{t^{3}-1}=\frac{1+1+1+1}{1+1+1}=\frac{4}{3}.

Passo 12

(k) \lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sqrt{9+h}-3}{h}.
Isto é uma forma 0/0. Técnica útil: multiplicar numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{9+h}+3. Fazemos:
\frac{\sqrt{9+h}-3}{h}\cdot\frac{\sqrt{9+h}+3}{\sqrt{9+h}+3}=\frac{9+h-9}{h(\sqrt{9+h}+3)}=\frac{h}{h(\sqrt{9+h}+3)}=\frac{1}{\sqrt{9+h}+3}.
Agora h\to 0
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sqrt{9+h}-3}{h}=\frac{1}{3+3}=\frac{1}{6}.

Passo 13

(l) \lim_{u\rightarrow 2}\frac{\sqrt{4u+1}-3}{u-2}.
Também é 0/0. Multiplicamos pelo conjugado \sqrt{4u+1}+3:
\frac{\sqrt{4u+1}-3}{u-2}\cdot\frac{\sqrt{4u+1}+3}{\sqrt{4u+1}+3}=\frac{4u+1-9}{(u-2)(\sqrt{4u+1}+3)}=\frac{4u-8}{(u-2)(\sqrt{4u+1}+3)}.
Note que 4u-8=4(u-2), portanto
\frac{4u-8}{(u-2)(\sqrt{4u+1}+3)}=\frac{4}{\sqrt{4u+1}+3}.
Substituindo u=2:
\lim_{u\rightarrow 2}\frac{\sqrt{4u+1}-3}{u-2}=\frac{4}{3+3}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.

Passo 14

(m) \lim_{x\rightarrow -4}\frac{\frac{1}{4}+\frac{1}{x}}{4+x}.
Primeiro simplificamos a expressão algébrica. No numerador fazemos a soma de frações:
\frac{1}{4}+\frac{1}{x}=\frac{x+4}{4x}.
Portanto a expressão inteira é
\frac{\frac{x+4}{4x}}{4+x}=\frac{x+4}{4x(4+x)}.
Observando 4+x=x+4, para x\neq -4 podemos cancelar x+4:
\frac{x+4}{4x(x+4)}=\frac{1}{4x}.
Agora substituímos x=-4:
\lim_{x\rightarrow -4}\frac{\frac{1}{4}+\frac{1}{x}}{4+x}=\frac{1}{4(-4)}=\frac{1}{-16}=-\frac{1}{16}.

Resposta

(a) \,5
(b) \,\dfrac{3}{5}
(c) não existe
(d) não existe
(e) \,\dfrac{6}{5}
(f) \,\dfrac{1}{4}
(g) \,-10
(h) \,12
(i) \,\dfrac{1}{12}
(j) \,\dfrac{4}{3}
(k) \,\dfrac{1}{6}
(l) \,\dfrac{2}{3}
(m) \,-\dfrac{1}{16}

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