Calcule cada um dos limites abaixo.
Dica: no último, use a identidade (x^n-y^n)=(x-y)(x^n-1+x^n-2 y+cdots+x y^n-2+y^n-1), para n in N
lim x 1 raiz[4]x-1raiz[5]x-1

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto1raiz[4]x-1raiz[5]x-1
que é uma forma indeterminada tfrac00. Vamos usar a dica e aplicar uma mudança de variável para usar a identidade de fatoração.

Passo 2

Defina t = x^1/20. Então
raiz[4]x = x^1/4 = (x^1/20)^5 = t^5
e
raiz[5]x = x^1/5 = (x^1/20)^4 = t^4.
Quando xto1, temos tto1. O limite em t fica
limtto1t^5-1t^4-1

Passo 3

Usamos a identidade
t^n - 1 = (t - 1)l(t^n-1 + t^n-2 + cdots + t + 1r)
Logo,
t^5 - 1 = (t-1)(t^4 + t^3 + t^2 + t + 1), t^4 - 1 = (t-1)(t^3 + t^2 + t + 1)
Cancelamos o fator (t-1) e obtemos
t^5-1t^4-1 = t^4 + t^3 + t^2 + t + 1t^3 + t^2 + t + 1

Passo 4

Basta agora substituir t=1 na fração simplificada:
1^4 + 1^3 + 1^2 + 1 + 11^3 + 1^2 + 1 + 1 = 54

Resposta

54

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