Demonstre, pela definição de derivada, que se f(x)=cos x, então f^prime(x)=-sen x.
21-24 Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.

Passo 1

Vamos aplicar a definição de derivada para f(x)=cos x, ou seja,
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h =limhto0cos(x+h)-cos xh

Passo 2

Use a fórmula de soma de cossenos:
cos(x+h)=cos xcos h-sin xsin h,
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cos(x+h)-cos x =cos x(cos h-1)-sin xsin h

Passo 3

Substituindo na definição,
f'(x) =limhto0cos x(cos h-1)-sin xsin hh =cos xlimhto0cos h-1h -sin xlimhto0sin hh

Passo 4

Usamos os limites notórios
limhto0cos h-1h=0 e limhto0sin hh=1
Portanto
f'(x)=cos xcdot0-sin xcdot1=-sin x

Resposta

f'(x)=-sin x
Não foi possível determinar as retas tangentes dos exercícios 21–24 pois não foram fornecidos os pontos e as funções correspondentes.

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