(a) Mostre que 30 divide n^5-n.
(b) Mostre que n^5 e n têm sempre o mesmo algarismo das unidades.
(c) Mostre que o número 15 n^5+13 n^3+715 n é um inteiro para todo inteiro n.

Passo 1

O enunciado pede três coisas usando aritmética modular e o teorema de Fermat:
(a) provar que 30mid n^5-n,
(b) deduzir que n^5 e n têm sempre o mesmo algarismo das unidades (ou seja, n^5equiv npmod10),
(c) mostrar que
15n^5+13n^3+715n
é inteiro para todo ninZ.
Vamos usar divisibilidade por 2, 3 e 5 e o feijãozinho do teorema de Fermat.

Passo 2

Para (a) basta verificar que n^5-n é múltiplo de 2, de 3 e de 5, pois mmc(2,3,5)=30.
  • Módulo 2: se n é par, então n^5 e n são pares e n^5-n é par; se n é ímpar, então n^5equiv1pmod2 e nequiv1pmod2, logo n^5-nequiv0pmod2.
  • Módulo 3: pelo teorema de Fermat temos n^3equiv npmod3. Multiplicando ambos os lados por n^2 n^5equiv n^3equiv npmod3, logo n^5-nequiv0pmod3.
  • Módulo 5: de novo pelo teorema de Fermat n^4equiv1pmod5 para gcd(n,5)=1, logo n^5equiv npmod5. Se 5mid n é óbvio que n^5equiv nequiv0pmod5.
Portanto n^5-n é múltiplo de 2, 3 e 5, isto é, de 30.

Passo 3

Para (b) notar que ter o mesmo algarismo das unidades significa
n^5equiv npmod10
Mas já vimos em (a) que n^5equiv npmod2 e pmod5. Pelo teorema chinês dos restos segue n^5equiv npmod10, logo n^5 e n têm sempre o mesmo dígito das unidades.

Passo 4

Para (c) escrevamos
A=15n^5+13n^3+715n =3n^5+5n^3+7n15
Mostramos que o numerador N=3n^5+5n^3+7n é múltiplo de 3 e de 5.

Passo 5

  • Módulo 3: usando n^3equiv npmod3 vem
Nequiv3n^5+5n^3+7nequiv0+2n+ nequiv3nequiv0pmod3
  • Módulo 5: usando n^5equiv npmod5 vem
Nequiv3n^5+5n^3+7nequiv3n+0+2nequiv5nequiv0pmod5
Assim N é múltiplo de 3 e de 5, logo múltiplo de 15, e A=N/15 é inteiro.

Resposta

(a) 30mid n^5-n.
(b) n^5equiv npmod10, logo mesmo algarismo das unidades.
(c) 15n^5+13n^3+715n é inteiro para todo n.

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