(a) Mostre que 30 divide
.
(b) Mostre que
e
têm sempre o mesmo algarismo das unidades.
(c) Mostre que o número
é um inteiro para todo inteiro
.
(b) Mostre que
(c) Mostre que o número
Passo 1
O enunciado pede três coisas usando aritmética modular e o teorema de Fermat:
(a) provar que ,
(b) deduzir que e
têm sempre o mesmo algarismo das unidades (ou seja,
),
(c) mostrar que
(a) provar que
(b) deduzir que
(c) mostrar que
é inteiro para todo
.
Vamos usar divisibilidade por 2, 3 e 5 e o feijãozinho do teorema de Fermat.
Vamos usar divisibilidade por 2, 3 e 5 e o feijãozinho do teorema de Fermat.
Passo 2
Para (a) basta verificar que
é múltiplo de 2, de 3 e de 5, pois
.
- Módulo 2: se
é par, então e são pares e é par; se é ímpar, então e , logo . - Módulo 3: pelo teorema de Fermat temos
. Multiplicando ambos os lados por dá , logo . - Módulo 5: de novo pelo teorema de Fermat
para , logo . Se é óbvio que .
Portanto
é múltiplo de 2, 3 e 5, isto é, de 30.
Passo 3
Para (b) notar que ter o mesmo algarismo das unidades significa
Mas já vimos em (a) que
e
. Pelo teorema chinês dos restos segue
, logo
e
têm sempre o mesmo dígito das unidades.
Passo 4
Para (c) escrevamos
Mostramos que o numerador
é múltiplo de 3 e de 5.
Passo 5
- Módulo 3: usando
vem
- Módulo 5: usando
vem
Assim
é múltiplo de 3 e de 5, logo múltiplo de 15, e
é inteiro.
Resposta
(a)
.
(b) , logo mesmo algarismo das unidades.
(c) é inteiro para todo
.
(b)
(c)