Calcule cada um dos limites a seguir. Caso o limite exista, indique as propriedades utilizadas na resolução.
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}+x+1}{x^{2}+2 x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to 2}\frac{x^{2}+x+1}{x^{2}+2x}
O tema é limite de função racional. Vamos usar as propriedades de limite de soma, potência e quociente de limites, lembrando que podemos fazer a substituição direta se o denominador não for zero no ponto.

Passo 2

Verificamos o domínio em torno de x=2. O denominador é
x^{2}+2x = x\,(x+2),
então em x=2 vale 2\cdot4=8\neq 0. Logo, a função é contínua em x=2 e não há indeterminação.

Passo 3

Pelas propriedades de limites temos
\lim_{x\to 2}\frac{x^{2}+x+1}{x^{2}+2x} =\frac{\displaystyle \lim_{x\to 2}(x^{2}+x+1)}{\displaystyle \lim_{x\to 2}(x^{2}+2x)},
já que \lim_{x\to 2}(x^{2}+2x)\neq 0. Aqui usamos:
  1. \lim(f+g)=\lim f+\lim g
  2. \lim(x^{2})=(\lim x)^{2}
  3. \lim\bigl(f/g\bigr)=(\lim f)/(\lim g) se \lim g\neq0.

Passo 4

Calculamos separadamente:
\lim_{x\to 2}(x^{2}+x+1) =\lim_{x\to 2}x^{2}+\lim_{x\to 2}x+\lim_{x\to 2}1 =2^{2}+2+1=7,
\lim_{x\to 2}(x^{2}+2x) =\lim_{x\to 2}x^{2}+2\lim_{x\to 2}x =2^{2}+2\cdot2=8.
Portanto,
\lim_{x\to 2}\frac{x^{2}+x+1}{x^{2}+2x} =\frac{7}{8}.

Resposta

\displaystyle \frac{7}{8}

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