Calcule cada um dos limites a seguir, justificando cuidadosamente cada passagem:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen} 3 x}{2 x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to0}\frac{\sin 3x}{2x}
usando conhecimentos de limites, em particular o limite trigonométrico fundamental
\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1.
Vamos reescrever a expressão de modo a aplicar esse resultado.

Passo 2

Reescrevemos a fração de forma a aparecer o quociente \frac{\sin(3x)}{3x}, assim:
\frac{\sin 3x}{2x} = \frac{\sin 3x}{3x}\;\frac{3x}{2x} = \frac{\sin 3x}{3x}\;\frac{3}{2}.

Passo 3

Agora aplicamos o limite em cada fator. Como x\to0 implica 3x\to0, vale
\lim_{x\to0}\frac{\sin 3x}{3x}=1.
Portanto
\lim_{x\to0}\frac{\sin 3x}{2x} = \lim_{x\to0}\frac{\sin 3x}{3x}\;\frac{3}{2} =1\cdot\frac{3}{2} =\frac{3}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{2}

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