Exercício 10. Determine b\) para que a função \(f\) seja contínua em toda a reta real: \(f(x)= \begin{cases}3 x^{2}-4 x+b, & \text { se } x \leq 0, \\\ \frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2}}{x}, & \text { se } x>0 .\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= \begin{cases} 3x^{2}-4x+b, & x\le0,\\\ \dfrac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2}}{x}, & x>0 \end{cases}
e pede b para que f seja contínua em toda reta real. O único ponto crítico é x=0, onde muda a definição. Para ter continuidade em 0, precisamos
\lim_{x\to0^-}f(x)=f(0)=\lim_{x\to0^+}f(x).

Passo 2

Calcular \lim_{x\to0^+}\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2}}{x}. Temos forma 0/0, então racionalizamos multiplicando por \frac{\sqrt{x+2}+\sqrt{2}}{\sqrt{x+2}+\sqrt{2}}:
\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2}}{x}\cdot\frac{\sqrt{x+2}+\sqrt{2}}{\sqrt{x+2}+\sqrt{2}} =\frac{(x+2)-2}{x\bigl(\sqrt{x+2}+\sqrt{2}\bigr)} =\frac{x}{x\bigl(\sqrt{x+2}+\sqrt{2}\bigr)} =\frac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{2}}.
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\lim_{x\to0^+}\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2}}{x} =\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{2}} =\frac{1}{2\sqrt{2}} =\frac{\sqrt{2}}{4}.

Passo 3

Calcular f(0) pela definição do ramo x\le0:
f(0)=3\cdot0^{2}-4\cdot0+b=b.

Passo 4

Impor continuidade em 0:
f(0)=\lim_{x\to0^+}f(x) \quad\Longrightarrow\quad b=\frac{\sqrt{2}}{4}.

Resposta

b=\frac{\sqrt{2}}{4}

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