Exercício 10. Determine b\) para que a função \(f\) seja contínua em toda a reta real: \(f(x)= \begin{cases}\frac{\tan (x)}{\operatorname{sen}(2 x)}, & \text { se } x \neq 0, \\\ \cos b, & \text { se } x=0 .\end{cases}

Passo 1

O enunciado define
f(x)= \begin{cases} \displaystyle \frac{\tan(x)}{\operatorname{sen}(2x)}, & x\neq0,\\[6pt] \cos b, & x=0, \end{cases}
e pede para escolher b de modo que f seja contínua em toda reta real. Como a única possível descontinuidade interna a essa definição é em x=0, vamos exigir
\lim_{x\to0}\frac{\tan(x)}{\operatorname{sen}(2x)} = f(0) = \cos b.]

Passo 2

Para calcular o limite, reescrevemos
\frac{\tan(x)}{\operatorname{sen}(2x)} =\frac{\displaystyle\frac{\operatorname{sen}(x)}{\cos(x)}}{2\operatorname{sen}(x)\cos(x)} =\frac{1}{2\cos^2(x)},
válido sempre que \operatorname{sen}(x)\neq0 e \cos(x)\neq0. Portanto
\lim_{x\to0}\frac{\tan(x)}{\operatorname{sen}(2x)} =\lim_{x\to0}\frac{1}{2\cos^2(x)} =\frac{1}{2\cos^2(0)} =\frac{1}{2\cdot1^2} =\frac{1}{2}.

Passo 3

Para garantir continuidade em x=0, precisamos de
\cos b = \frac{1}{2}.
As soluções gerais de \cos b=1/2 são
b = 2k\pi \pm \frac{\pi}{3},\quad k\in\mathbb{Z}.

Resposta

b = 2k\pi \pm \dfrac{\pi}{3},\quad k\in\mathbb{Z}.

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