Calcule cada um dos limites a seguir, justificando cuidadosamente cada passagem:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}^{2} x}{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}^{2}x}{x}.
O conteúdo que vamos usar é o limite fundamental
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}x}{x}=1
e a continuidade de \operatorname{sen}x em x=0, ou seja, \lim_{x\to0}\operatorname{sen}x=\operatorname{sen}0=0.

Passo 2

Observe que podemos reescrever a função como produto:
\frac{\operatorname{sen}^{2}x}{x} = \operatorname{sen}x \;\cdot\;\frac{\operatorname{sen}x}{x}.
Pelo teorema do limite do produto,
\lim_{x\to0}\bigl(\operatorname{sen}x\cdot\frac{\operatorname{sen}x}{x}\bigr) =\Bigl(\lim_{x\to0}\operatorname{sen}x\Bigr)\!\cdot\!\Bigl(\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}x}{x}\Bigr).

Passo 3

Usando os limites conhecidos:
\lim_{x\to0}\operatorname{sen}x=0 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}x}{x}=1,
temos
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}^{2}x}{x} =0\cdot1=0.

Resposta

0

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