Calcule cada um dos limites a seguir, justificando cuidadosamente cada passagem:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen} 2 x}{\operatorname{sen} x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin(2x)}{\sin(x)}.
O conteúdo principal envolve limites de funções trigonométricas, uso de identidades e continuidade.

Passo 2

Usamos a identidade trigonométrica
\sin(2x)=2\,\sin(x)\cos(x)
para reescrever o quociente (válido para x\neq0, o que basta para o cálculo do limite):
\frac{\sin(2x)}{\sin(x)} =\frac{2\,\sin(x)\cos(x)}{\sin(x)} =2\cos(x).

Passo 3

Como \cos(x) é contínua em x=0, podemos passar o limite para dentro:
\lim_{x\to0}2\cos(x) =2\lim_{x\to0}\cos(x) =2\cos(0) =2\cdot1 =2.

Resposta

2

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