Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow 0}(1+2 x)^{\frac{1}{3 x}}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to 0}(1+2x)^{\frac{1}{3x}}.
Esse é um limite do tipo (1+u)^{1/u} que normalmente leva à base e. Para resolver, vamos usar o logaritmo natural para transformar a potência em um quociente, calcular esse limite e depois voltar pela exponencial.

Passo 2

Definimos
L = \lim_{x\to 0}(1+2x)^{\frac{1}{3x}}.
Tomando logaritmo natural em ambos os lados, obtemos
\ln L = \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+2x)}{3x}.

Passo 3

O limite
\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+2x)}{3x}
é do tipo 0/0, então aplicamos a regra de l’Hôpital:
\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+2x)}{3x} = \lim_{x\to 0}\frac{\frac{d}{dx}\ln(1+2x)}{\frac{d}{dx}(3x)} = \lim_{x\to 0}\frac{\frac{2}{1+2x}}{3} = \frac{2}{3}.
Logo, \ln L = 2/3.

Passo 4

Voltando da forma logarítmica para a exponencial, temos
L = e^{\frac{2}{3}}.

Resposta

e^{\frac{2}{3}}

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