Exercício 13. Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função contínua cujo gráfico passa pelos pontos (0,-3) e (2,5). Calcule os seguintes limites, justificando sua resposta:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+9}+f(x)}{f(x)^{2}-x-9}

Passo 1

O enunciado nos dá uma função contínua f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} com f(0)=-3 e f(2)=5, e pede o valor de
\lim_{x\to0} \frac{\sqrt{x+9} + f(x)}{f(x)^2 - x - 9}.
Vamos usar continuidade e manipulação algébrica (fatoração) para eliminar a indeterminação.

Passo 2

Ao substituir diretamente x\to0 temos
\sqrt{0+9} + f(0) = 3 + (-3) = 0,
f(0)^2 - 0 - 9 = (-3)^2 - 9 = 9 - 9 = 0,
logo a expressão é \tfrac{0}{0}, uma indeterminação.

Passo 3

Observe que
f(x)^2 - (x+9) = f(x)^2 - (\sqrt{x+9})^2 = \bigl(f(x) - \sqrt{x+9}\bigr)\,\bigl(f(x) + \sqrt{x+9}\bigr).
Assim o denominador fatora em duas parcelas.

Passo 4

O numerador é exatamente \sqrt{x+9} + f(x) = f(x) + \sqrt{x+9}. Podemos cancelar esse fator com um dos do denominador, desde que o outro não se anule. Como f é contínua e \sqrt{x+9} também, temos
f(x) - \sqrt{x+9} \;\xrightarrow[x\to0]{}\; f(0) - 3 = -3 - 3 = -6 \neq 0,
logo, para x próximo de 0, esse termo permanece diferente de zero.

Passo 5

Após o cancelamento, o limite reduz-se a
\lim_{x\to0} \frac{1}{f(x) - \sqrt{x+9}} = \frac{1}{f(0) - \sqrt{0+9}} = \frac{1}{-6} = -\frac{1}{6}.

Resposta

-\tfrac{1}{6}

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