Exercício 13. Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função contínua cujo gráfico passa pelos pontos (0,-3) e (2,5). Calcule os seguintes limites, justificando sua resposta: \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+9}+f(x)}{f(x)^{2}-x-9}
Passo 1
O enunciado nos dá uma função contínua f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} com f(0)=-3 e f(2)=5, e pede o valor de
\lim_{x\to0} \frac{\sqrt{x+9} + f(x)}{f(x)^2 - x - 9}.
Vamos usar continuidade e manipulação algébrica (fatoração) para eliminar a indeterminação.
Passo 2
Ao substituir diretamente x\to0 temos
\sqrt{0+9} + f(0) = 3 + (-3) = 0,
f(0)^2 - 0 - 9 = (-3)^2 - 9 = 9 - 9 = 0,
logo a expressão é \tfrac{0}{0}, uma indeterminação.
O numerador é exatamente \sqrt{x+9} + f(x) = f(x) + \sqrt{x+9}. Podemos cancelar esse fator com um dos do denominador, desde que o outro não se anule. Como f é contínua e \sqrt{x+9} também, temos