Calcule cada um dos limites a seguir:
\lim _{x \rightarrow 1}\left(x^{5}-x^{2}+3 x-7\right)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do seguinte limite quando x tende a 1:
\lim_{x \rightarrow 1}\left(x^{5}-x^{2}+3 x-7\right).
Informações dadas:
  • A função cujo limite se quer é x^{5}-x^{2}+3x-7.
  • O ponto de interesse é x \rightarrow 1.
  • Não há outras condições ou restrições.

Passo 2

Conceitos e propriedades que vamos usar (explicados de forma didática):
  • Limite de soma e produto: se existem \lim_{x\to a} f(x) e \lim_{x\to a} g(x), então \lim_{x\to a}\big(f(x)+g(x)\big)=\lim_{x\to a}f(x)+\lim_{x\to a}g(x)e \lim_{x\to a}\big(f(x)\cdot g(x)\big)=\lim_{x\to a}f(x)\cdot\lim_{x\to a}g(x).Isso nos permite separar um polinômio termo a termo.
  • Limite de constante e de função identidade: para qualquer constante c, \lim_{x\to a} c = c, \qquad \lim_{x\to a} x = a.Pelo item anterior, de \lim_{x\to a} x = a segue que \lim_{x\to a} x^n = a^n para todo inteiro n\ge 1, porque x^n é produto de n fatores x.
  • Continuidade de polinômios: um polinômio é soma e produto de funções contínuas (constantes e x), logo é contínuo em todo ponto. Para uma função contínua f vale \lim_{x\to a} f(x)=f(a).Assim, para polinômios podemos simplesmente substituir x=a para obter o limite.

Passo 3

Aplicando as propriedades termo a termo ao polinômio dado:
\lim_{x\rightarrow 1}\left(x^{5}-x^{2}+3 x-7\right) = \lim_{x\rightarrow 1}x^{5} - \lim_{x\rightarrow 1}x^{2} + \lim_{x\rightarrow 1}3x - \lim_{x\rightarrow 1}7.
Agora usamos \lim_{x\to 1} x^{5}=1^{5}, \lim_{x\to 1} x^{2}=1^{2}, \lim_{x\to 1} 3x=3\cdot 1 e \lim_{x\to 1}7=7. Substituindo:
\lim_{x\rightarrow 1}\left(x^{5}-x^{2}+3 x-7\right) = 1 - 1 + 3 - 7.

Passo 4

Simplificando a soma obtida passo a passo (para fazer sem calculadora):
1-1 = 0,
0+3 = 3,
3-7 = -4.
Portanto o valor do limite é o número resultante acima.

Passo 5

Observação útil para a prova (truque rápido): sempre que o integrando for um polinômio ou outra função conhecida como contínua (razão de polinômios sem zeros no denominador no ponto, exponencial, senos, cossenos, etc.), basta substituir x pelo ponto para obter o limite. Isso economiza tempo e evita reescrever longas manipulações.

Resposta

-4

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