Calcule cada um dos limites a seguir:
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do seguinte limite quando
tende a
:
Informações dadas:
- A função cujo limite se quer é
. - O ponto de interesse é
. - Não há outras condições ou restrições.
Passo 2
Conceitos e propriedades que vamos usar (explicados de forma didática):
- Limite de soma e produto: se existem
e , então e Isso nos permite separar um polinômio termo a termo. - Limite de constante e de função identidade: para qualquer constante
, Pelo item anterior, de segue que para todo inteiro , porque é produto de fatores . - Continuidade de polinômios: um polinômio é soma e produto de funções contínuas (constantes e
), logo é contínuo em todo ponto. Para uma função contínua vale Assim, para polinômios podemos simplesmente substituir para obter o limite.
Passo 3
Aplicando as propriedades termo a termo ao polinômio dado:
Agora usamos
,
,
e
. Substituindo:
Passo 4
Simplificando a soma obtida passo a passo (para fazer sem calculadora):
Portanto o valor do limite é o número resultante acima.
Passo 5
Observação útil para a prova (truque rápido): sempre que o integrando for um polinômio ou outra função conhecida como contínua (razão de polinômios sem zeros no denominador no ponto, exponencial, senos, cossenos, etc.), basta substituir
pelo ponto para obter o limite. Isso economiza tempo e evita reescrever longas manipulações.