Utilize resíduos para calcular cada uma das integrais seguintes:
, onde
e
é o triângulo com vértices
e -3 , orientado no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado pede calcular
onde
e
é o triângulo com vértices
,
e
, orientado anti-horário.\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função tem possíveis singularidades quando o denominador se anula, isto é em
, e . - O contorno
é fechado e envolve geometricamente os pontos reais entre e ; os pontos estão dentro desse triângulo (observação geométrica: o triângulo liga a , então a sequência dos reais fica atravessando a região interior, logo estão no interior). - A integral que se pede é a integral complexa de contorno multiplicada por
.\n
O que devemos devolver: o valor numérico de.
Passo 2
Princípio que vamos usar (explicação didática): se uma função é holomorfa numa região exceto por um número finito de singularidades isoladas
dentro de um contorno fechado simples
, então a integral ao redor de
é
vezes a soma dos resíduos nessas singularidades. Em fórmulas:
Portanto
Ou seja, nossa tarefa reduz-se a somar os resíduos de
nos polos interiores ao triângulo.
Passo 3
Identificamos as singularidades de
. Pelo denominador, as possíveis singularidades isoladas são:
Pelo que foi dito no Passo 1, todos esses três pontos estão no interior do triângulo
. Precisamos calcular
,
e
e somá-los. Vou assumir (como é habitual nesses problemas) que
é interpretado localmente como
com uma escolha de ramo de
que permita definir
nas vizinhanças necessárias para calcular cada resíduo (localmente em torno de cada polo podemos fixar um ramo). Para o cálculo dos resíduos em polos simples isso é suficiente.
Passo 4
Regra prática para polos simples (explicação e fórmula): se
é um polo simples de
, então
No nosso caso, cada um de
é um zero simples do polinômio
, logo são polos simples (a menos que o numerador também zere ao mesmo grau; trataremos isso avaliando o limite). Assim usaremos essa fórmula direta.
Passo 5
Cálculo de
. Aplicando a fórmula de polo simples:
Agora avaliamos em
:
Preciso explicar
: usando
e o ramo principal de
onde
, temos
Logo
Passo 6
Cálculo de
. Novamente polo simples:
Avaliando em
:
Agora calcule
. Usando
(ramo principal), temos
Logo o denominador em
é
. Portanto
Passo 7
Cálculo de
. Fórmula de polo simples:
Aqui precisamos do comportamento de
quando
. Mostro a propriedade usada: escrevendo
, o produto
tende a
quando
(por exemplo em qualquer caminho complexo com
escolhido localmente,
). Assim
Portanto
Passo 8
Somamos os resíduos interiores. Temos:
Logo a soma é