Utilize resíduos para calcular cada uma das integrais seguintes:
\frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \oint_{\gamma} f(z) d z, onde f(z)=\frac{z^{z}}{z(z+1)(z+2)} e \gamma é o triângulo com vértices 1 \pm \mathrm{i} e -3 , orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede calcular
\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\gamma} f(z)\,dz
onde
f(z)=\frac{z^{z}}{z(z+1)(z+2)}
e \gamma é o triângulo com vértices 1+\mathrm{i}, 1-\mathrm{i} e -3, orientado anti-horário.\n
Informações relevantes fornecidas:
  • A função tem possíveis singularidades quando o denominador se anula, isto é em z=0, z=-1 e z=-2.
  • O contorno \gamma é fechado e envolve geometricamente os pontos reais entre -3 e 1; os pontos 0,-1,-2 estão dentro desse triângulo (observação geométrica: o triângulo liga -3 a 1\pm\mathrm{i}, então a sequência dos reais -3,-2,-1,0,1 fica atravessando a região interior, logo -2,-1,0 estão no interior).
  • A integral que se pede é a integral complexa de contorno multiplicada por 1/(2\pi\mathrm{i}).\n
    O que devemos devolver: o valor numérico de \dfrac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\gamma} f(z)\,dz.

Passo 2

Princípio que vamos usar (explicação didática): se uma função é holomorfa numa região exceto por um número finito de singularidades isoladas a_k dentro de um contorno fechado simples \gamma, então a integral ao redor de \gamma é 2\pi\mathrm{i} vezes a soma dos resíduos nessas singularidades. Em fórmulas:
\oint_{\gamma} f(z)\,dz = 2\pi\mathrm{i}\sum_{k} \operatorname{Res}(f,a_k).
Portanto
\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\gamma} f(z)\,dz = \sum_{k} \operatorname{Res}(f,a_k).
Ou seja, nossa tarefa reduz-se a somar os resíduos de f nos polos interiores ao triângulo.

Passo 3

Identificamos as singularidades de f. Pelo denominador, as possíveis singularidades isoladas são:
z=0,\quad z=-1,\quad z=-2.
Pelo que foi dito no Passo 1, todos esses três pontos estão no interior do triângulo \gamma. Precisamos calcular \operatorname{Res}(f,0), \operatorname{Res}(f,-1) e \operatorname{Res}(f,-2) e somá-los. Vou assumir (como é habitual nesses problemas) que z^{z} é interpretado localmente como e^{z\log z} com uma escolha de ramo de \log que permita definir z^{z} nas vizinhanças necessárias para calcular cada resíduo (localmente em torno de cada polo podemos fixar um ramo). Para o cálculo dos resíduos em polos simples isso é suficiente.

Passo 4

Regra prática para polos simples (explicação e fórmula): se a é um polo simples de f, então
\operatorname{Res}(f,a)=\lim_{z\to a}(z-a)f(z).
No nosso caso, cada um de z=0,-1,-2 é um zero simples do polinômio z(z+1)(z+2), logo são polos simples (a menos que o numerador também zere ao mesmo grau; trataremos isso avaliando o limite). Assim usaremos essa fórmula direta.

Passo 5

Cálculo de \operatorname{Res}(f,-1). Aplicando a fórmula de polo simples:
\operatorname{Res}(f,-1)=\lim_{z\to -1}(z+1)\frac{z^{z}}{z(z+1)(z+2)} =\lim_{z\to -1}\frac{z^{z}}{z(z+2)}.
Agora avaliamos em z=-1:
\operatorname{Res}(f,-1)=\frac{(-1)^{-1}}{(-1)\bigl((-1)+2\bigr)}.
Preciso explicar (\\ -1)^{-1}: usando z^{z}=e^{z\log z} e o ramo principal de \log onde \log(-1)=\mathrm{i}\pi, temos
(-1)^{-1}=e^{-1\cdot \log(-1)}=e^{-\mathrm{i}\pi}= \cos(-\pi)+\mathrm{i}\sin(-\pi)=-1.
Logo
\operatorname{Res}(f,-1)=\frac{-1}{(-1)\cdot 1}=\frac{-1}{-1}=1.

Passo 6

Cálculo de \operatorname{Res}(f,-2). Novamente polo simples:
\operatorname{Res}(f,-2)=\lim_{z\to -2}(z+2)\frac{z^{z}}{z(z+1)(z+2)} =\lim_{z\to -2}\frac{z^{z}}{z(z+1)}.
Avaliando em z=-2:
\operatorname{Res}(f,-2)=\frac{(-2)^{-2}}{(-2)\bigl((-2)+1\bigr)}.
Agora calcule (\\ -2)^{-2}. Usando \log(-2)=\ln 2 + \mathrm{i}\pi (ramo principal), temos
(-2)^{-2}=e^{-2\log(-2)}=e^{-2(\ln 2+\mathrm{i}\pi)}=e^{-2\ln 2}e^{-2\mathrm{i}\pi}=\mathrm{e}^{-2\ln 2}\cdot 1=\mathrm{e}^{\ln(2^{-2})}=2^{-2}=\frac{1}{4}.
Logo o denominador em z=-2 é (-2)\cdot(-1)=2. Portanto
\operatorname{Res}(f,-2)=\frac{1/4}{2}=\frac{1}{8}.

Passo 7

Cálculo de \operatorname{Res}(f,0). Fórmula de polo simples:
\operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}z\frac{z^{z}}{z(z+1)(z+2)} =\lim_{z\to 0}\frac{z^{z}}{(z+1)(z+2)}.
Aqui precisamos do comportamento de z^{z} quando z\to 0. Mostro a propriedade usada: escrevendo z^{z}=e^{z\log z}, o produto z\log z tende a 0 quando z\to 0 (por exemplo em qualquer caminho complexo com \log z escolhido localmente, |z\log z|\le |z|(\,|\ln|z||+|\arg z|\,)\to 0). Assim
\lim_{z\to 0} z^{z}=e^{0}=1.
Portanto
\operatorname{Res}(f,0)=\frac{1}{(0+1)(0+2)}=\frac{1}{2}.

Passo 8

Somamos os resíduos interiores. Temos:
\operatorname{Res}(f,-2)=\frac{1}{8},\qquad \operatorname{Res}(f,-1)=1,\qquad \operatorname{Res}(f,0)=\frac{1}{2}.
Logo a soma é
\frac{1}{8}+1+\frac{1}{2}=\frac{1}{8}+\frac{8}{8}+\frac{4}{8}=\frac{13}{8}.

Resposta

\dfrac{13}{8}

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