Calcule as seguintes integrais trigonométricas:
\int_{0}^{2 \pi} \frac{\cos ^{2} 3 \theta d \theta}{1-2 a \cos \theta+a^{2}}, com a\(complexo,a \neq \pm 1$.)

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Nos é dada a integral
I=\int_{0}^{2\pi}\frac{\cos^{2}3\theta\,d\theta}{1-2a\cos\theta+a^{2}},
com a número complexo e a\neq \pm 1.
  • A tarefa é calcular I explicitando o valor em função de a.
  • Informação relevante: o integrando é 2\pi-periódico em \theta. Observe também que a posição dos polos da função quando traduzirmos para a variável complexa z=e^{i\theta} dependerá de |a|; por isso o resultado cai em casos (normalmente |a|<1 e |a|>1).

Passo 2

Primeira simplificação trigonométrica (reduzir potência):
  • Usamos a identidade conhecida para quadrado do cosseno:
\cos^{2}3\theta=\frac{1+\cos 6\theta}{2}.
  • Substituindo na integral obtemos
I=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\frac{d\theta}{1-2a\cos\theta+a^{2}}+\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\frac{\cos 6\theta\,d\theta}{1-2a\cos\theta+a^{2}}.
  • Portanto basta saber como calcular integrais do tipo
\int_{0}^{2\pi}\frac{\cos n\theta\,d\theta}{1-2a\cos\theta+a^{2}}
para n=0 e n=6.

Passo 3

Identidade de desenvolvimento em série (o “núcleo de Poisson”) para |a|<1:
  • Para |a|<1 vale a identidade (padrão e muito útil)
\frac{1}{1-2a\cos\theta+a^{2}}=\frac{1}{1-a^{2}}\Bigl(1+2\sum_{m=1}^{\infty}a^{m}\cos m\theta\Bigr).
  • Explicação de onde vem (curta e didática):
    • Considere as somas geométricas
    S_{+}=\sum_{m=0}^{\infty}(a e^{i\theta})^{m}=\frac{1}{1-ae^{i\theta}},\qquad S_{-}=\sum_{m=0}^{\infty}(a e^{-i\theta})^{m}=\frac{1}{1-ae^{-i\theta}},válidas para |a|<1.
    • Então S_{+}+S_{-}-1=\sum_{m=-\infty}^{\infty}a^{|m|}e^{im\theta} e fazendo a álgebra (colocando sobre o mesmo denominador) chega-se à forma
    S_{+}+S_{-}-1=\frac{1-a^{2}}{1-2a\cos\theta+a^{2}}.
    • Separando parte real e usando e^{im\theta}+e^{-im\theta}=2\cos m\theta obtém-se a identidade acima. É a forma de série de Fourier do núcleo.

Passo 4

Integração termo a termo usando ortogonalidade dos cossenos (caso [|a|<1)):
  • Usamos ortogonalidade das funções \cos m\theta em [0,2\pi]: \int_{0}^{2\pi}\cos m\theta\,d\theta=0\quad(m\ge 1),\qquad \int_{0}^{2\pi}\cos m\theta\cos n\theta\,d\theta=\begin{cases}\pi,& m=n\ge 1,\\\ 0,&m\ne n.\end{cases}
  • Aplicando a expansão do passo anterior, para n\ge 1\] obtemos \[\int_{0}^{2\pi}\frac{\cos n\theta\,d\theta}{1-2a\cos\theta+a^{2}} =\frac{2}{1-a^{2}}\sum_{m=1}^{\infty}a^{m}\int_{0}^{2\pi}\cos n\theta\cos m\theta\,d\theta =\frac{2}{1-a^{2}}\cdot a^{n}\cdot \pi.\] - Para \(n=0 (ou seja a integral da parte constante) temos \int_{0}^{2\pi}\frac{d\theta}{1-2a\cos\theta+a^{2}}=\frac{1}{1-a^{2}}\int_{0}^{2\pi}\Bigl(1+2\sum_{m=1}^{\infty}a^{m}\cos m\theta\Bigr)d\theta =\frac{2\pi}{1-a^{2}}.

Passo 5

Aplicando aos nossos termos (caso |a|<1):
  • Usando os resultados do passo anterior:
    • Para n=0: \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\frac{d\theta}{1-2a\cos\theta+a^{2}}=\frac{2\pi}{1-a^{2}}.
    • Para n=6: \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\frac{\cos 6\theta\,d\theta}{1-2a\cos\theta+a^{2}}=\frac{2\pi a^{6}}{1-a^{2}}.
  • Portanto, da expressão obtida no Passo 2, I=\frac{1}{2}\cdot\frac{2\pi}{1-a^{2}}+\frac{1}{2}\cdot\frac{2\pi a^{6}}{1-a^{2}} =\frac{\pi(1+a^{6})}{1-a^{2}},para |a|<1.

Passo 6

Caso |a|>1 (como tratar pelo mesmo raciocínio usando simetria a\mapsto 1/a):
  • Observe que 1-2a\cos\theta+a^{2}=a^{2}\Bigl(1-2\frac{1}{a}\cos\theta+\frac{1}{a^{2}}\Bigr).
  • Logo \frac{1}{1-2a\cos\theta+a^{2}}=\frac{1}{a^{2}}\cdot\frac{1}{1-2(1/a)\cos\theta+(1/a)^{2}}.
  • Se |a|>1 então |1/a|<1, podemos aplicar o resultado do caso anterior com a substituído por 1/a. Assim I=\frac{1}{a^{2}}\cdot \frac{\pi\bigl(1+(1/a)^{6}\bigr)}{1-(1/a)^{2}} =\frac{\pi\bigl(1+a^{-6}\bigr)}{a^{2}\bigl(1-a^{-2}\bigr)}.
  • Simplificando a fracção ( 1-a^{-2}=(a^{2}-1)/a^{2}) obtemos I=\frac{\pi(1+a^{-6})}{a^{2}-1} =\frac{\pi(1+a^{6})}{a^{6}(a^{2}-1)},para |a|>1.

Passo 7

Observação sobre o caso |a|=1:
  • Se |a|=1 e a não é tal que o denominador nunca zere, então existem \theta reais com 1-2a\cos\theta+a^{2}=0 e a integral é imprópria/divergente. Por isso os resultados acima são válidos para |a|\ne 1. O enunciado excluiu a=\pm 1; para outros pontos com |a|=1 a integral não é bem definida como integral de Riemann usual (há polos na integração real).

Resposta

Para |a|<1:
\displaystyle I=\frac{\pi(1+a^{6})}{1-a^{2}}.
Para |a|>1:
\displaystyle I=\frac{\pi(1+a^{6})}{a^{6}(a^{2}-1)}.
Para |a|=1 (exceto talvez nos pontos removidos), a integral não é definida por existência de zeros do denominador.

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