Calcule as seguintes integrais trigonométricas:
, com
a \neq \pm 1$.)
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Nos é dada a integral
com
número complexo e
.
- A tarefa é calcular
explicitando o valor em função de . - Informação relevante: o integrando é
-periódico em . Observe também que a posição dos polos da função quando traduzirmos para a variável complexa dependerá de ; por isso o resultado cai em casos (normalmente e ).
Passo 2
Primeira simplificação trigonométrica (reduzir potência):
- Usamos a identidade conhecida para quadrado do cosseno:
- Substituindo na integral obtemos
- Portanto basta saber como calcular integrais do tipo
para
e
.
Passo 3
Identidade de desenvolvimento em série (o “núcleo de Poisson”) para
:
- Para
vale a identidade (padrão e muito útil)
- Explicação de onde vem (curta e didática):
- Considere as somas geométricas
válidas para . - Então
e fazendo a álgebra (colocando sobre o mesmo denominador) chega-se à forma
- Separando parte real e usando
obtém-se a identidade acima. É a forma de série de Fourier do núcleo.
Passo 4
Integração termo a termo usando ortogonalidade dos cossenos (caso [|a|<1)):
- Usamos ortogonalidade das funções
em : - Aplicando a expansão do passo anterior, para
(ou seja a integral da parte constante) temos
Passo 5
Aplicando aos nossos termos (caso
):
- Usando os resultados do passo anterior:
- Para
: . - Para
: .
- Para
- Portanto, da expressão obtida no Passo 2,
para .
Passo 6
Caso
(como tratar pelo mesmo raciocínio usando simetria
):
- Observe que
- Logo
- Se
então , podemos aplicar o resultado do caso anterior com substituído por . Assim - Simplificando a fracção (
) obtemos para .
Passo 7
Observação sobre o caso
:
- Se
e não é tal que o denominador nunca zere, então existem reais com e a integral é imprópria/divergente. Por isso os resultados acima são válidos para . O enunciado excluiu ; para outros pontos com a integral não é bem definida como integral de Riemann usual (há polos na integração real).
Resposta
Para
:
Para
:
Para
(exceto talvez nos pontos removidos), a integral não é definida por existência de zeros do denominador.