Calcule integralC F cdot d r para o campo F=(y,-x) e a curva C que é a semicircunferência de raio 1 no primeiro e segundo quadrante, de (-1,0) a (1,0).

Passo 1

O enunciado quer o integral de linha
integralCFcdot dr
onde F(x,y)=(y,-x) e C é a semicircunferência de raio 1 no primeiro e segundo quadrante indo de (-1,0) até (1,0).
O conteúdo envolvido é parametrização de curvas, cálculo de F(r(t)), derivada r'(t) e produto escalar.

Passo 2

Para respeitar o sentido de (-1,0) a (1,0) pelo arco superior, usamos
r(t)=l(-cos t,;sin tr), tin[0,pi]
Assim r(0)=(-1,0) e r(pi)=(1,0). Calculamos
r'(t)=l(sin t,;cos tr)

Passo 3

Avaliamo F sobre r(t):
Fl(r(t)r)=l(sin t,;-(-cos t)r)=(sin t,cos t)
O produto escalar é
F(r(t))cdot r'(t) =sin tcdotsin t+cos tcdotcos t =sin^2t+cos^2t =1

Passo 4

Logo o integral de linha fica
integralCFcdot dr =integral0^pi1,dt =pi

Resposta

pi

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