(ii) Mostre que
yp(x)=e^-integral p(x) d x[integral(q(x) e^integral p(x) d x) d x]
é uma solução particular de y^prime+p(x) y=q(x)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
yp(x)=e^-integral p(x),dx,gl[integral q(x),e^integral p(x),dx,dxgr]
é uma solução particular da equação linear de primeira ordem
y'(x)+p(x),y(x)=q(x)
O conteúdo principal aqui é o método do fator integrante ou, equivalentemente, verificar diretamente que essa ansatz satisfaz a equação.

Passo 2

É conveniente definir
I(x)=integral p(x),dx e J(x)=integral q(x),e^I(x),dx,
de modo que
yp(x)=e^-I(x),J(x)

Passo 3

Vamos calcular a derivada de yp(x) usando a regra do produto e a cadeia. Temos
yp'(x) =ddxl(e^-I(x)r),J(x) +e^-I(x),J'(x)
Como
ddxe^-I(x)=-I'(x),e^-I(x) e J'(x)=q(x),e^I(x),
segue que
yp'(x) =-I'(x),e^-I(x),J(x) +e^-I(x),q(x),e^I(x)

Passo 4

Substituindo I'(x)=p(x) e usando e^-I(x)J(x)=yp(x) e e^-I(x)e^I(x)=1, obtemos
yp'(x) =-p(x),yp(x)+q(x)
Logo,
yp'(x)+p(x),yp(x) =q(x),
o que mostra que yp(x) satisfaz exatamente a equação dada.

Resposta

Logo,
yp(x)=e^-integral p(x),dx,gl[integral q(x),e^integral p(x),dx,dxgr]
é de fato uma solução particular de y'(x)+p(x)y(x)=q(x).

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