(i) Mostre que
é solução geral da equação linear homogênea
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é resolvida pela família
Conteúdo: equações diferenciais de primeira ordem lineares homogêneas e método de separação de variáveis.
Passo 2
Verificamos que
satisfaz a equação. Calculamos a derivada de
Substituindo em
obtemos
logo
é de fato uma solução.
Passo 3
Para ver que não há outra forma geral de solução, usamos separação de variáveis em
Integrando ambos os lados:
onde
é constante. Exponenciando:
com
real. Assim todas as soluções locais têm essa forma, mostrando que
é a solução geral.
Resposta
A família
é a solução geral da equação