(i) Mostre que yc(x)=c e^-integral p(x) d x é solução geral da equação linear homogênea
y^prime+p(x) y=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
y' + p(x),y = 0
é resolvida pela família
yc(x) = c,e^-integral p(x),dx
Conteúdo: equações diferenciais de primeira ordem lineares homogêneas e método de separação de variáveis.

Passo 2

Verificamos que yc satisfaz a equação. Calculamos a derivada de
yc(x)=c,e^-integral p(x),dx:
yc'(x) = c;ddxl(e^-integral p(x),dxr) = c,e^-integral p(x),dx,(-p(x)) = -p(x),yc(x)
Substituindo em y'+p(x)y obtemos
yc'(x) + p(x),yc(x) = -p(x),yc(x) + p(x),yc(x) = 0,
logo yc é de fato uma solução.

Passo 3

Para ver que não há outra forma geral de solução, usamos separação de variáveis em
y'+p(x),y=0 ;Longrightarrow; dydx = -p(x),y ;Longrightarrow; dyy = -p(x),dx
Integrando ambos os lados:
integral dyy = -integral p(x),dx ;Longrightarrow; lnlvert yrvert = -integral p(x),dx + K,
onde K é constante. Exponenciando:
lvert yrvert = e^K,e^-integral p(x),dx ;Longrightarrow; y = C,e^-integral p(x),dx,
com C=e^K real. Assim todas as soluções locais têm essa forma, mostrando que yc(x) é a solução geral.

Resposta

A família
yc(x)=c,e^-integral p(x),dx
é a solução geral da equação
y' + p(x),y = 0

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