Suponha (xn)n in N com termos não negativos e que convirja para L. Mostre, por meio da definição, que (raizxn)n in N convege para raizL.

Passo 1

Então, o enunciado fala sobre sequências numéricas. Temos uma sequência (xn)n in N onde todos os termos são maiores ou iguais a zero e que ela converge para um número L. A gente precisa mostrar que a sequência formada pelas raízes quadradas desses termos, (raizxn)n in N, converge para raizL. Para isso, vamos usar a definição de convergência de sequência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência (xn) convergir para L. Isso quer dizer que, para qualquer número pequeno que a gente escolher, chamado de epsilon (que representa uma “margem de erro”), existe um número N tal que para todo n maior ou igual a N, a diferença entre xn e L é menor que epsilon. Em fórmulas, isso é escrito como:
forall epsilon > 0, exists N in N, tal que forall n >= N, |xn - L| < epsilon

Passo 3

Agora, queremos provar que (raizxn) converge para raizL. Ou seja, para qualquer epsilon > 0, precisamos achar um N tal que para todo n >= N:
|raizxn - raizL| < epsilon

Passo 4

Vamos usar uma técnica comum para lidar com diferenças de raízes quadradas. Sabemos que:
|raizxn - raizL| = |xn - L||raizxn + raizL|
Como xn e L são não negativos, o denominador |raizxn + raizL| é pelo menos raizL, já que raizxn é não negativo.

Passo 5

Portanto, temos:
|raizxn - raizL| <= |xn - L|raizL
Isso significa que se conseguirmos fazer |xn - L| < epsilon cdot raizL, então:
|raizxn - raizL| < epsilon

Passo 6

Sabemos que (xn) converge para L, então para qualquer epsilon' > 0, existe um N tal que para todo n >= N:
|xn - L| < epsilon'
Vamos escolher epsilon' = epsilon cdot raizL. Assim, para esse epsilon', existe um N tal que para todo n >= N:
|xn - L| < epsilon cdot raizL

Passo 7

Com isso, substituindo na desigualdade anterior:
|raizxn - raizL| <= |xn - L|raizL < epsilon cdot raizLraizL = epsilon

Resposta

Portanto, mostramos que (raizxn)n in N converge para raizL.

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