Suponha
com termos não negativos e que convirja para
. Mostre, por meio da definição, que
convege para
.
Passo 1
Então, o enunciado fala sobre sequências numéricas. Temos uma sequência
onde todos os termos são maiores ou iguais a zero e que ela converge para um número
. A gente precisa mostrar que a sequência formada pelas raízes quadradas desses termos,
, converge para
. Para isso, vamos usar a definição de convergência de sequência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência
convergir para
. Isso quer dizer que, para qualquer número pequeno que a gente escolher, chamado de
(que representa uma “margem de erro”), existe um número
tal que para todo
maior ou igual a
, a diferença entre
e
é menor que
. Em fórmulas, isso é escrito como:
Passo 3
Agora, queremos provar que
converge para
. Ou seja, para qualquer
, precisamos achar um
tal que para todo
:
Passo 4
Vamos usar uma técnica comum para lidar com diferenças de raízes quadradas. Sabemos que:
Como
e
são não negativos, o denominador
é pelo menos
, já que
é não negativo.
Passo 5
Portanto, temos:
Isso significa que se conseguirmos fazer
, então:
Passo 6
Sabemos que
converge para
, então para qualquer
, existe um
tal que para todo
:
Vamos escolher
. Assim, para esse
, existe um
tal que para todo
:
Passo 7
Com isso, substituindo na desigualdade anterior:
Resposta
Portanto, mostramos que
converge para
.