Considere a sequência (an)n in N definida por an=n^3-13 n^3+1.
Justifique se ela converge ou não. Sendo convergente, mostre por meio da definição.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar se a sequência an = n^3 - 13n^3 + 1 converge ou não. Para isso, vamos precisar entender sobre limites de sequências, que é um conceito fundamental em cálculo. Basicamente, queremos descobrir qual valor a sequência se aproxima à medida que n fica cada vez maior.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão da sequência: an = n^3 - 13n^3 + 1. Quando n aumenta muito, os termos n^3 se tornam muito grandes, e os termos constantes (-1 e +1) se tornam quase insignificantes em comparação com n^3.

Passo 3

Para encontrar o limite dessa sequência, podemos dividir o numerador e o denominador por n^3, que é o maior expoente de n nos termos:
an = n^3 - 13n^3 + 1 = n^3(1 - 1n^3)n^3(3 + 1n^3) = 1 - 1n^33 + 1n^3

Passo 4

À medida que n tende ao infinito, 1n^3 tende a zero. Então, podemos simplificar a expressão:
limn to infty an = 1 - 03 + 0 = 13

Passo 5

Agora, para justificar que a sequência realmente converge para 13 pela definição, precisamos mostrar que para todo epsilon > 0, existe um número N tal que para todo n >= N, a diferença |an - 13| < epsilon.

Passo 6

Vamos calcular |an - 13|:
| n^3 - 13n^3 + 1 - 13 | = | 3(n^3 - 1) - (3n^3 + 1)3(3n^3 + 1) | = | 3n^3 - 3 - 3n^3 - 19n^3 + 3 | = | -49n^3 + 3 | = 49n^3 + 3

Passo 7

Queremos que 49n^3 + 3 < epsilon. Vamos resolver para n:
49n^3 + 3 < epsilon Rightarrow 9n^3 + 3 > 4epsilon Rightarrow 9n^3 > 4epsilon - 3 Rightarrow n^3 > 4epsilon - 39

Passo 8

Então, basta escolher N tal que:
N > raiz[3]4epsilon - 39
Dessa forma, para todo n >= N, a diferença |an - 13| será menor que epsilon, garantindo que a sequência converge para 13.

Resposta

A sequência (an) converge para 13.

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