Justifique se ela converge ou não. Sendo convergente, mostre por meio da definição.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar se a sequência converge ou não. Para isso, vamos precisar entender sobre limites de sequências, que é um conceito fundamental em cálculo. Basicamente, queremos descobrir qual valor a sequência se aproxima à medida que fica cada vez maior.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a expressão da sequência: . Quando aumenta muito, os termos se tornam muito grandes, e os termos constantes (-1 e +1) se tornam quase insignificantes em comparação com .
Passo 3
Para encontrar o limite dessa sequência, podemos dividir o numerador e o denominador por , que é o maior expoente de nos termos:
Passo 4
À medida que tende ao infinito, tende a zero. Então, podemos simplificar a expressão:
Passo 5
Agora, para justificar que a sequência realmente converge para pela definição, precisamos mostrar que para todo , existe um número tal que para todo , a diferença .
Passo 6
Vamos calcular :
Passo 7
Queremos que 49n^3 + 3 < epsilon. Vamos resolver para n: