Questão 3. (10 pontos) Uma cilindro condutor rígido de raio A e comprimento L e contendo uma carga total
está centralizado com uma casca cilíndrica condutora neutra de raio interno B e externo C. Calcule o campo elétrico em toda a região do espaço
e a densidade de cargas elétricas superficial em cada cilindro. Considere o sistema ideal com o comprimento do fio muito maior que os raios
. Descreva sua hipótese sobre o calculo do campo elétrico.
Passo 1
O enunciado descreve um sistema coaxial formado por um cilindro condutor maciço de raio
e comprimento
que contém carga total
, envolvido por uma casca cilíndrica condutora inicialmente neutra, com raio interno
e raio externo
. Precisamos calcular o campo elétrico
em todas as regiões
e as densidades de carga superficial em cada superfície condutora. O conteúdo principal é eletrostática de condutores e aplicação da Lei de Gauss em simetria cilíndrica.
Passo 2
Como
, adotamos carga por unidade de comprimento
Ao inserir o cilindro carregado, a casca neutra sofre indução: sua superfície interna (em
) adquire carga
e a externa (em
) adquire
.
Passo 3
Por simetria cilíndrica o campo é radial e depende só de
. Usamos uma superfície gaussiana cilíndrica de comprimento
e raio variável
. A Lei de Gauss em forma integral é
onde
é a carga total encerrada pela gaussiana.
Passo 4
Para
, estamos dentro do condutor maciço. Em regime eletrostático, o campo no interior de um condutor é nulo, logo
Passo 5
Para
, a gaussiana de raio
encerra apenas o cilindro interno com carga
. Assim
Passo 6
Para
, a gaussiana inclui o cilindro interno
e a superfície interna da casca
, totalizando carga zero. Logo
Passo 7
Para
, a gaussiana encerra todas as cargas:
do cilindro interno e
e
da casca, total neto
. Assim volta a valer
Passo 8
As densidades de carga superficial
em cada raio são a carga por unidade de área de cada superfície cilíndrica:
Resposta
Para
em função de
:
Densidades superficiais: