Questão 3. (10 pontos) Uma cilindro condutor rígido de raio A e comprimento L e contendo uma carga total \mathrm{q}>0 está centralizado com uma casca cilíndrica condutora neutra de raio interno B e externo C. Calcule o campo elétrico em toda a região do espaço (\mathrm{r}=[0, \infty]) e a densidade de cargas elétricas superficial em cada cilindro. Considere o sistema ideal com o comprimento do fio muito maior que os raios \mathrm{A}, \mathrm{B} \mathrm{e} \mathrm{C}. Descreva sua hipótese sobre o calculo do campo elétrico.

Passo 1

O enunciado descreve um sistema coaxial formado por um cilindro condutor maciço de raio A e comprimento L que contém carga total q>0, envolvido por uma casca cilíndrica condutora inicialmente neutra, com raio interno B e raio externo C. Precisamos calcular o campo elétrico E(r) em todas as regiões 0 \le r < \infty e as densidades de carga superficial em cada superfície condutora. O conteúdo principal é eletrostática de condutores e aplicação da Lei de Gauss em simetria cilíndrica.

Passo 2

Como L\gg A,B,C, adotamos carga por unidade de comprimento
\lambda = \frac{q}{L}\,.
Ao inserir o cilindro carregado, a casca neutra sofre indução: sua superfície interna (em r=B) adquire carga -\lambda e a externa (em r=C) adquire +\lambda.

Passo 3

Por simetria cilíndrica o campo é radial e depende só de r. Usamos uma superfície gaussiana cilíndrica de comprimento L e raio variável r. A Lei de Gauss em forma integral é
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}\,,
onde Q_{\text{int}} é a carga total encerrada pela gaussiana.

Passo 4

Para 0 \le r < A, estamos dentro do condutor maciço. Em regime eletrostático, o campo no interior de um condutor é nulo, logo
E(r) = 0\,.

Passo 5

Para A < r < B, a gaussiana de raio r encerra apenas o cilindro interno com carga \lambda L. Assim
E(r)\,(2\pi r L) = \frac{\lambda L}{\varepsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad E(r) = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,r}\,.

Passo 6

Para B < r < C, a gaussiana inclui o cilindro interno (+\lambda L) e a superfície interna da casca (-\lambda L), totalizando carga zero. Logo
E(r) = 0\,.

Passo 7

Para r > C, a gaussiana encerra todas as cargas: +\lambda L do cilindro interno e -\lambda L e +\lambda L da casca, total neto \lambda L. Assim volta a valer
E(r) = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,r}\,.

Passo 8

As densidades de carga superficial \sigma em cada raio são a carga por unidade de área de cada superfície cilíndrica:
\sigma_A = \frac{\lambda}{2\pi A}, \quad \sigma_{B} = \frac{-\lambda}{2\pi B}, \quad \sigma_{C} = \frac{+\lambda}{2\pi C}.

Resposta

Para r em função de A,B,C:
E(r)= \begin{cases} 0, & 0 \le r < A,\\[6pt] \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,r}, & A < r < B,\\[6pt] 0, & B < r < C,\\[6pt] \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,r}, & r > C. \end{cases}
Densidades superficiais:
\sigma_A = \frac{\lambda}{2\pi A},\quad \sigma_B = \frac{-\lambda}{2\pi B},\quad \sigma_C = \frac{\lambda}{2\pi C}.]

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