Calcule o campo elétrico E criado por semi-esfera de raio R no ponto 0 , centro da esfera correspondente. Considere que esta semi-esfera possui uma carga Q uniformemente distribuída no seu volume.

Passo 1

Beleza, vamos calcular o campo elétrico no centro de uma semi-esfera (metade de uma bola) de raio , que está uniformemente carregada com carga total .
Conteúdo da matéria:
  • Lei de Coulomb (campo de um volume com densidade uniforme)
  • Densidade volumétrica de carga
  • Integração em coordenadas esféricas
    O que vamos precisar:
  1. Expressar a densidade de carga .
  2. Montar o integral do campo elétrico via .
  3. Usar simetria (só sobra componente ao longo do eixo ).

Passo 2

Primeiro, a densidade volumétrica de carga é
rho ;=;Qvolume da semi-esfera ;=;Qtfrac23pi R^3 ;=;3Q2pi R^3,

Passo 3

A gente coloca a semi-esfera cobrindo dQ ;=;rho,dV , dE =14pivarepsilon0,dQr^2 ,(-hat r),, , , , e o ponto onde queremos o campo é a origem.
Para um elemento de volume , temos
onde o aparece porque o campo de uma carga positiva fica apontando de para o ponto na origem (ou seja, “pra baixo”, direção ).

Passo 4

Só a componente em dEz =14pivarepsilon0,rho,r^2sintheta,dr,dtheta,dphir^2 ;(-costheta) ;=; -rho4pivarepsilon0,sinthetacostheta;dr,dtheta,dphi sobrevive (pela simetria, as componentes Ez =-rho4pivarepsilon0 integral0^2pi!dphi integral0^pi/2!sinthetacostheta,dtheta integral0^R!dr ;=; -rho4pivarepsilon0,(2pi),l[tfrac12r],R somam zero). Então
Agora integramos de a , de a e de a :

Passo 5

Calculando os fatores:
Ez =-rho4pivarepsilon0;2pi;12;R =-rho,R4varepsilon0
Só falta substituir Ez =-14varepsilon0;3Q2pi R^3;R =-3Q8pivarepsilon0,R^2 :

Resposta

boxed E(0) =-3Q8pivarepsilon0,R^2,hat z
O campo aponta para baixo (no sentido ), com módulo .

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