Calcule o campo elétrico gerado por uma carga pontual +Q localizada na origem em um ponto distante r no eixo x. Explicite a fórmula usada e as condições de simetria.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o campo elétrico criado por uma carga pontual $ +Q $ que está na origem, em um ponto distante $ r $ no eixo $ x $. A gente vai trabalhar com eletrostática, especificamente com a Lei de Coulomb, que nos ajuda a encontrar o campo elétrico gerado por cargas pontuais. Além disso, vamos considerar as condições de simetria para simplificar nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Lei de Coulomb, que nos dá a magnitude do campo elétrico $ E $ criado por uma carga pontual $ Q $ em um ponto a uma distância $ r $:
E
Aqui, $ k $ é a constante de Coulomb ($ k \approx 8,99 \times 10^9 , N·m2/\text{C}2 $).

Passo 3

Agora, precisamos considerar as condições de simetria. Como a carga $ +Q $ está localizada na origem e queremos calcular o campo em um ponto ao longo do eixo $ x $, o campo elétrico será direcionado ao longo desse eixo. Isso simplifica bastante nosso problema, pois não precisamos nos preocupar com componentes em outras direções.

Passo 4

Então, aplicando a Lei de Coulomb para nosso caso específico, onde o ponto está no eixo $ x $ a uma distância $ r $ da origem, o campo elétrico $ \vec{E} $ terá apenas uma componente na direção $ x $. Assim, podemos expressar o campo elétrico vetorial como:
x
Onde $ \hat{i} $ é o vetor unitário na direção positiva do eixo $ x $.

Passo 5

Substituindo a expressão da magnitude do campo elétrico na expressão vetorial, temos:
E = ( k Qr^2 ) i
Isso significa que o campo elétrico aponta na direção positiva do eixo $ x $ se $ Q $ for positiva, o que é o nosso caso.

Resposta

O campo elétrico gerado pela carga pontual $ +Q $ na origem, em um ponto distante $ r $ no eixo $ x $, é dado por:
+Q
Onde:
  • $ k $ é a constante de Coulomb,
  • $ Q $ é a carga pontual,
  • $ r $ é a distância do ponto à origem,
  • $ \hat{i} $ é o vetor unitário na direção positiva do eixo $ x $.

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