Considere uma tubulação de água que consiste de um tubo de 2 cm de diâmetro por onde a água entra com velocidade de módulo 2 m / s sob uma pressão de 5 times 10^5 Pa. Outro tubo de 1 cm de diâmetro encontra-se a 5 m de altura, conectado ao tubo de entrada. Considerando-se a densidade da água igual 1 times 10^3 kg / m^3 e desprezando-se as perdas, calcule a pressão da água no tubo de saída. Adote g =10 m / s^2.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma tubulação de água com dois tubos conectados:
  • O primeiro tubo tem diâmetro de 2 cm, por onde a água entra com velocidade de 2 m/s e pressão de 5 times 10^5 Pa.
  • O segundo tubo tem diâmetro de 1 cm, está localizado 5 metros mais acima e está conectado ao primeiro tubo.
Queremos calcular a pressão da água no tubo de saída. Para resolver isso, vamos usar a Equação de Bernoulli, que relaciona pressão, velocidade e altura em dois pontos de um fluido em escoamento sem perdas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Equação de Bernoulli, que é dada por:
P1 + 12 rho v1^2 + rho g h1 = P2 + 12 rho v2^2 + rho g h2
Onde:
  • P é a pressão,
  • rho é a densidade do fluido,
  • v é a velocidade do fluido,
  • g é a aceleração da gravidade,
  • h é a altura.
Vamos identificar os pontos 1 e 2 na nossa situação:
  • Ponto 1: Entrada do primeiro tubo.
  • Ponto 2: Saída do segundo tubo, 5 metros acima.

Passo 3

Precisamos determinar:
  • P1 = 5 times 10^5 Pa,
  • v1 = 2 m/s,
  • d1 = 2 cm = 0,02 m,
  • d2 = 1 cm = 0,01 m,
  • h1 = 0 m (referência),
  • h2 = 5 m,
  • rho = 1 times 10^3 kg/m³,
  • g = 10 m/s².
Primeiro, precisamos encontrar as velocidades v1 e v2. Já temos v1, mas vamos verificar se a área do tubo muda a velocidade.

Passo 4

A Continuidade para fluxo incompressível nos diz que:
A1 v1 = A2 v2
Onde A é a área da seção transversal do tubo. A área de um tubo circular é:
A = pi (d2)^2
Vamos calcular A1 e A2:
A1 = pi (0,022)^2 = pi (0,01)^2 = pi times 10^-4 , m² ²
A2 = pi (0,012)^2 = pi (0,005)^2 = pi times 2,5 times 10^-5 , m² ²

Passo 5

Agora, aplicamos a equação de continuidade para encontrar v2:
A1 v1 = A2 v2 Rightarrow v2 = A1 v1A2
Substituindo os valores:
v2 = pi times 10^-4 times 2pi times 2,5 times 10^-5 = 2 times 10^-42,5 times 10^-5 = 8 , m/s

Passo 6

Agora que temos v2, podemos aplicar a Equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 2:
P1 + 12 rho v1^2 + rho g h1 = P2 + 12 rho v2^2 + rho g h2
Como h1 = 0, a equação fica:
5 times 10^5 + 12 times 10^3 times (2)^2 = P2 + 12 times 10^3 times (8)^2 + 10^3 times 10 times 5
Vamos calcular cada termo:
  • 12 times 10^3 times 4 = 2000 Pa
  • 12 times 10^3 times 64 = 32000 Pa
  • 10^3 times 10 times 5 = 50000 Pa

Passo 7

Substituindo os valores na equação:
5 times 10^5 + 2000 = P2 + 32000 + 50000
Somando os termos do lado esquerdo:
502000 = P2 + 82000

Passo 8

Isolando P2:
P2 = 502000 - 82000 = 420000 , Pa

Resposta

A pressão da água no tubo de saída é de 4,2 times 10^5 , Pa.

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