Calcule integralC F d s do campo F(x, y)=(x^2,-y) ao longo da curva x=y^2 de (4,2) até (1,-1). Resp.: -392

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralCFcdot d s
onde
F(x,y)=(x^2,-y)
e C é a curva dada por x=y^2, indo do ponto (4,2) até (1,-1).
Esse é um caso de integral de linha de um campo vetorial, que se resolve parametrizando a curva e usando
integralCP,dx+Q,dy

Passo 2

Parametrizamos a curva x=y^2 usando y=t. Assim,
x=t^2, y=t,
e os pontos inicial e final correspondem a t=2 (pois (t^2,t)=(4,2)) e t=-1 (pois (t^2,t)=(1,-1)).
As derivadas são
dx=2t,dt, dy=dt

Passo 3

Escrevemos a integral de linha como
integralCFcdot d s =integralCl(x^2,dx+(-y),dyr)
Substituindo a parametrização, x=t^2 e y=t, vem
x^2,dx = (t^2)^2,(2t,dt)=t^4cdot2t,dt=2t^5,dt,
-y,dy = -t,(dt) = -t,dt
Logo o integrando é
2t^5-t

Passo 4

A integral em t fica então
integralt=2^t=-1(2t^5-t),dt
Calculamos a antiderivada:
integral(2t^5-t),dt =2cdott^66-t^22 =13t^6-12t^2
Agora avaliamos de 2 a -1:
l[tfrac13t^6-tfrac12t^2r]2^-1 =l(tfrac13(-1)^6-tfrac12(-1)^2r) -l(tfrac13,2^6-tfrac12,2^2r)
Isso dá
l(tfrac13-tfrac12r) -l(tfrac643-2r) =-tfrac16-l(tfrac643-2r) =-tfrac16-tfrac643+2 =-tfrac1176 =-tfrac392

Resposta

-392

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