Calcule a integral de linha integralC F d s, onde C é a curva dada.
integralC(z, z, y) d s, C(t)=(sen(t), cos (t), t), 0 <= t <= 2 pi Resp.: 132

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha da campo vetorial
F(x,y,z) = (z,;z,;y)
ao longo da curva C parametrizada por
r(t) = (sin t,;cos t,;t), 0<= t<= 2pi,
usando a notação integralC F,ds, que aqui corresponde à integral de trabalho
integralC Fcdot dr
Vamos, portanto, usar a fórmula
integralC Fcdot dr ;=;integralt=0^2pi Fl(r(t)r)cdot r'(t),dt

Passo 2

Calculamos r'(t). Como
r(t) = (sin t,;cos t,;t),
temos
r'(t) = (cos t,;-,sin t,;1)

Passo 3

Substituímos a parametrização em F. Em r(t) vale
x=sin t, y=cos t, z=t,
logo
Fl(r(t)r) = l(z,;z,;yr) = l(t,;t,;cos tr)

Passo 4

Fazemos o produto escalar F(r(t))cdot r'(t):
F(r(t))cdot r'(t) = l(t,;t,;cos tr)cdot (cos t,;-,sin t,;1) = tcos t ;-; tsin t ;+;cos t

Passo 5

Montamos a integral em t:
integralC Fcdot dr = integral0^2pil(tcos t - tsin t + cos tr),dt
Separamos em três integrais:
I1=integral0^2pitcos t,dt, I2=integral0^2pi(-tsin t),dt, I3=integral0^2picos t,dt

Passo 6

Calculamos cada uma por partes ou diretamente:
  1. I1=integral tcos t,dt = tsin t+cos t|0^2pi = l(2picdot0+1r)-l(0cdot0+1r)=0
  2. I2=integral(-tsin t),dt = tcos t-sin t|0^2pi = l(2picdot1-0r)-0 = 2pi
  3. I3=integralcos t,dt =sin t|0^2pi =0-0=0
Somando,
integralC Fcdot dr = I1 + I2 + I3 = 0 + 2pi + 0 = 2pi

Resposta

boxed2pi

Exercícios relacionados