Calcule a integral de linha integralC F d s, onde C é a curva dada.
integralC(x y, y,-y z) d s, C(t)=(t, t^2, t), 0 <= t <= 1 Resp.: raiz2

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integralCF,ds,
onde
F(x,y,z)=(xy,;y,;-yz)
e
C(t)=(t,;t^2,;t), 0<= t<=1
Porém, como F é um campo vetorial e aparece o “ ds”, faltou especificar se
  1. é a integral de trabalho integralCFcdot d r (com d r=(dx,dy,dz)),
  2. ou a integral escalar integralC|F|,ds (com ds=| r'(t)|,dt).

Passo 2

Se interpretarmos como integral de trabalho, temos
r'(t)=(1,2t,1), F( r(t))=(t^3,;t^2,;-t^3),
Fl( r(t)r)cdot r'(t) = t^3+2t^3 -t^3 =2t^3,
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integralCFcdot d r =integral0^1 2t^3,dt =tfrac12
Se interpretarmos como integral escalar de norma,
|F( r(t))| =raizt^6+t^4+t^6 =raiz2t^6+t^4 =t^2raiz2t^2+1,
| r'(t)| =raiz1+4t^2+1 =raiz2+4t^2 =raiz2,raiz1+2t^2,
integralC|F|,ds =integral0^1 t^2raiz2t^2+1,raiz2,raiz1+2t^2,dt =11raiz215neqraiz2

Passo 3

Em nenhuma das interpretações usuais o valor da integral é raiz2. Há, portanto, uma inconsistência entre o enunciado (notação ambígua) e a “Resposta: raiz2” fornecida.

Resposta

Não é possível obter raiz2 com as interpretações usuais de integralCF,ds; o enunciado ou a resposta parecem estar incorretos.

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