Calcule
ointC=partial D F cdot d r
para o campo vetorial F(x, y)=(x y, x y), onde C é a fronteira da região D definida por 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 1.
Resposta: 0 .

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
ointC Fcdot dr
para o campo F(x,y)=(xy,xy), sendo C a fronteira do quadrado unitário
,D=(x,y)mid 0<= x<=1,;0<= y<=1.
O conteúdo aqui é o Teorema de Green, que converte uma integral de linha fechada numa integral dupla sobre D.

Passo 2

No Teorema de Green, escrevemos F=(P,Q) com
P(x,y)=xy, Q(x,y)=xy,
e então
ointCP,dx+Q,dy ;=;integral duplaDl(partialx Q-partialy Pr),dA

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partialx Q = partialx(xy)=y, partialy P = partialy(xy)=x
Portanto o integrando é
partialx Q-partialy P = y - x

Passo 4

Vamos avaliar a integral dupla em D=[0,1]times[0,1]:
integral duplaD(y-x),dA =integral0^1integral0^1(y-x),dx,dy =integral0^1l[yx-tfracx^22r]x=0^1dy =integral0^1l(y-tfrac12r),dy =l[tfracy^22-tfracy2r]0^1 =0

Passo 5

Como a integral dupla deu zero, pelo Teorema de Green concluímos que
ointCFcdot dr=0.

Resposta

0

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