Considere o campo vetorial
F(x, y)=(-yraizx^2+y^2, xraizx^2+y^2)
Calcule a integral de linha ointC F cdot d r, para a circunferência C de raio 3 orientada no sentido positivo. (Resposta: ointC F cdot d r=6 pi.)

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
F(x,y)=l(-yraizx^2+y^2,,xraizx^2+y^2r)
e pede a integral de linha
ointCFcdot dr
sobre a circunferência C de raio 3 centrada na origem e orientada no sentido positivo. Para resolver, vamos usar a parametrização de C em função de um ângulo theta e a definição de integral de linha de campo vetorial.

Passo 2

Parametrizamos C por
r(theta) = l(3costheta,,3sinthetar), 0<=theta<=2pi
Nesse caso
dr = r,'(theta),dtheta = l(-3sintheta,,3costhetar),dtheta

Passo 3

Em cada ponto da curva, o campo vale
Fl(r(theta)r) = l(-3sinthetaraiz(3costheta)^2+(3sintheta)^2,, 3costhetaraiz(3costheta)^2+(3sintheta)^2r)
Como raiz(3costheta)^2+(3sintheta)^2=3, isso simplifica para
Fl(r(theta)r) = l(-sintheta,,costhetar)

Passo 4

O produto escalar F(r(theta))cdotr,'(theta) é
l(-sintheta,,costhetar)cdotl(-3sintheta,,3costhetar) = 3l(sin^2theta+cos^2thetar) =3

Passo 5

Então a integral de linha fica
ointCFcdot dr =integral0^2pi3,dtheta =3l[,thetar]0^2pi =6pi

Resposta

ointCFcdot dr=6pi

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