partial N / partial x-partial M / partial yx^2 M-2 x N depende apenas de x^2 y.

Passo 1

Temos uma equação diferencial na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
e nos dizem que
partial N/partial x ;-;partial M/partial yx^2M ;-;2x,N
depende apenas da combinação x^2y. O conteúdo que vamos usar é o critério de existência de fator integrante mu que seja função de uma única expressão phi(x,y).

Passo 2

Recordando o critério geral: se quisermos um fator integrante mu que dependa só de phi(x,y), então a condição de exatidão
partialpartial yl(mu(phi),Mr) = partialpartial xl(mu(phi),Nr)
pode ser mostrada (via regra da cadeia) levar à relação
partial N/partial x - partial M/partial y M,partial phipartial y;-;N,partial phipartial x =mu'(phi)mu(phi) =ddphilnmu(phi)

Passo 3

Queremos que o denominador
M,phiy ;-; N,phix
seja justamente
x^2 M ;-;2x,N
Comparando, temos
phiy = x^2 e phix = 2x. Uma função que satisfaz essas duas condições simultaneamente é
phi(x,y)=x^2y,
pois partialphi/partial y = x^2 e partialphi/partial x = 2x,y. Note que no denominador aparece 2x,Nunderbracetimesy=,phi/!x^2, o que é coerente com a dependência somente em phi=x^2y.

Passo 4

Logo a relação fica
partial N/partial x - partial M/partial y x^2M - 2x,N =ddphilnmu(phi)
e, por hipótese, esse quociente é função só de phi. Chamemos
H(phi) = partial N/partial x - partial M/partial y x^2M -2x,N,
onde phi=x^2y.

Passo 5

Integramos para achar mu:
ddphilnmu(phi)=H(phi) Longrightarrow lnmu(phi)=integral H(phi),dphi + C Longrightarrow mu(phi)=e^integral H(phi),dphi

Passo 6

Substituindo phi=x^2y, o fator integrante geral é
boxedmu(x,y) =exp!l(!integral Hl(x^2yr),d(x^2y)r) =exp!l(! integralpartial N/partial x - partial M/partial y x^2M -2x,N,d(x^2y) r)

Resposta

mu(x,y)=expl(!integral H(x^2y),d(x^2y)r), onde
H(phi) =partial N/partial x - partial M/partial y x^2M -2x,N, phi=x^2y

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