Calcule ointC=partial D F cdot d r, para o campo vetorial
F(x, y)=(y-sin (x), cos (x)),
onde C é a fronteira do triângulo de vértices (0,0),(1,0) e (1,2), orientado no sentido antihorário.
Resposta: 2 cos (1)-2 sin (1)-1.

Passo 1

O enunciado pede a circulação
ointCvec Fcdot dvec r
para vec F(x,y)=(y-sin x,;cos x) ao longo de C, fronteira do triângulo com vértices (0,0), (1,0), (1,2) orientado anti-horário.
Conteúdo: Teorema de Green para transformar a integral de linha num integral dupla sobre a região D interior a C.

Passo 2

Pelo Teorema de Green vale
ointCvec Fcdot dvec r =integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr)dA,
em que P(x,y)=y-sin x e Q(x,y)=cos x. Calculamos
partial Qpartial x=-sin x, partial Ppartial y=1,
logo o integrando é
partial Qpartial x-partial Ppartial y =-sin x-1

Passo 3

A região D é o triângulo com base em 0<= x<=1 e topo na reta que liga (0,0) a (1,2), isto é
D=(x,y)mid 0<= x<=1,;0<= y<=2x
Assim
ointCvec Fcdot dvec r =integral duplaD(-sin x-1),dA =integralx=0^1integraly=0^2x(-sin x-1),dy,dx =integral0^1(-sin x-1),(2x),dx

Passo 4

Escrevemos
integral0^12x(-sin x-1),dx =-2integral0^1xsin x,dx -2integral0^1x,dx
Para integral0^1xsin x,dx usamos partes:
u=x, dv=sin x,dx Longrightarrow du=dx, v=-cos x,
integral0^1xsin x,dx =l[-xcos xr]0^1+integral0^1cos x,dx =-cos1+(sin1-0) =sin1-cos1
E
integral0^1x,dx=12

Passo 5

Substituindo,
-2(sin1-cos1)-2cdot12 =-2sin1+2cos1-1 =2cos1-2sin1-1

Resposta

2cos(1)-2sin(1)-1

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