Considere o campo vetorial
Calcule
, onde
é a circunferência de raio igual a 5 , orientada no sentido horário.
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
e pede o valor de
,
onde é a circunferência de raio
centrada na origem, orientada no sentido horário.
O conteúdo aqui é integral de linha de campos vetoriais em , que podemos resolver por parametrização da curva.
onde
O conteúdo aqui é integral de linha de campos vetoriais em
Passo 2
Note que
é singular na origem e, em
, tem circulação não nula em torno da origem. Para contornar o cálculo direto no sentido horário, vamos primeiro parametrizar
no sentido anti-horário, achar a integral e depois inverter o sinal.
Passo 3
Parametrizamos
no sentido anti-horário por
Então
e
O produto escalar fica
Logo a integral no sentido anti-horário é
Passo 4
Como parametrizamos no sentido anti-horário, mas a curva
é orientada no sentido horário, invertemos o sinal: