Considere o campo vetorial
F(x, y)=(-yx^2+y^2, xx^2+y^2)
Calcule integralC F cdot d r, onde C é a circunferência de raio igual a 5 , orientada no sentido horário.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
vec F(x,y)=l(-yx^2+y^2,,xx^2+y^2r)
e pede o valor de
integralCvec Fcdot dvec r,
onde C é a circunferência de raio 5 centrada na origem, orientada no sentido horário.
O conteúdo aqui é integral de linha de campos vetoriais em R^2, que podemos resolver por parametrização da curva.

Passo 2

Note que vec F é singular na origem e, em R^2setminus0, tem circulação não nula em torno da origem. Para contornar o cálculo direto no sentido horário, vamos primeiro parametrizar C no sentido anti-horário, achar a integral e depois inverter o sinal.

Passo 3

Parametrizamos C no sentido anti-horário por
vec r(t)=(5cos t,,5sin t), tin[0,2pi]
Então
vec r,'(t)=(-5sin t,,5cos t),
e
vec Fl(vec r(t)r) =l(-5sin t25,,5cos t25r) =l(-tfracsin t5,,tfraccos t5r)
O produto escalar fica
vec F(vec r(t))cdotvec r,'(t) =l(-tfracsin t5r)(-5sin t) +l(tfraccos t5r)(5cos t) =sin^2t+cos^2t=1
Logo a integral no sentido anti-horário é
integral0^2pi1,dt=2pi

Passo 4

Como parametrizamos no sentido anti-horário, mas a curva C é orientada no sentido horário, invertemos o sinal:
integralCvec Fcdot dvec r = -2pi

Resposta

-2pi

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