Calcule
ointC=partial D F cdot d r
para o campo vetorial
F(x, y)=(y^3, 2 x^3),
onde D é a região x^2+y^2 <= 4.
Resposta: ointC=partial D F cdot d r=12 pi.

Passo 1

O enunciado pede para calcular ointC=partial DFcdot dr para o campo F(x,y)=(y^3,2x^3), onde D é o disco (x,y)mid x^2+y^2<=4. Esse problema envolve integrais de linha em campos de duas variáveis e podemos aplicar o Teorema de Green, que transforma a integral de contorno numa integral dupla sobre D.

Passo 2

Pelo Teorema de Green,
ointCFcdot dr =integral duplaDl(partialpartial x(2x^3)-partialpartial y(y^3)r),dA

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais:
partialpartial x(2x^3)=6x^2, partialpartial y(y^3)=3y^2
Logo o integrando é
6x^2-3y^2

Passo 4

Passando a coordenadas polares via x=rcostheta, y=rsintheta e dA=r,dr,dtheta, o integrando fica
6r^2cos^2theta-3r^2sin^2theta =r^2l(6cos^2theta-3sin^2thetar)
Assim
ointCFcdot dr =integral0^2pi!integral0^2 r^2l(6cos^2theta-3sin^2thetar),r,dr,dtheta

Passo 5

Note que
6cos^2theta-3sin^2theta =1,5+4,5cos2theta
e que
integral0^2picos2theta,dtheta=0.
Logo
ointCFcdot dr =integral0^2pi1,5,dtheta;integral0^2r^3,dr =1,5cdot2picdot2^44 =3picdot4 =12pi

Resposta

12pi

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