Calcule as seguintes integrais de linha ao longo dos respectivos caminhos indicados:
F(x, y, z)=x imath+y jmath+(x z-y) k, ao longo da trajetória r(t)=t^2 imath+2 t jmath+4 t k, t in[0,1].

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
integralC Fcdot dr
onde F(x,y,z)=x,imath+y,jmath+(xz-y),k e o caminho é dado por
r(t)=t^2,imath+2t,jmath+4t,k para tin[0,1].
O conteúdo é integral de linha de um campo vetorial: usamos a parametrização e calculamos
integral0^1 F(r(t))cdot r'(t),dt.

Passo 2

Calculamos a derivada da parametrização:
r'(t)=ddtllang<= t^2,,2t,,4trrang<= =llang<= 2t,,2,,4rrang<=

Passo 3

Substituímos r(t) em F:
F(r(t)) =llang<= t^2,;2t,;t^2cdot4t-2trrang<= =llang<= t^2,;2t,;4t^3-2trrang<=

Passo 4

Fazemos o produto escalar
F(r(t))cdot r'(t) =llang<= t^2,2t,4t^3-2trrang<=cdotllang<=2t,2,4rrang<= =2t^3+4t+16t^3-8t =18t^3-4t

Passo 5

Integramos de 0 a 1:
integral0^1!(18t^3-4t),dt =18integral0^1 t^3,dt-4integral0^1 t,dt =18[t^44]0^1-4[t^22]0^1 =184-2 =92-2 =52

Resposta

52

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