Calcule
ointC F cdot d r
onde F(x, y)=3 y imath+(x^2-y) jmath, onde C=C1 cup C2, onde C1 é a semicircunferência superior de raio 1, centrada na origem, sentido anti-horário, e C2 é a porção da parábola y=x^2-1, de x=-1 a x=1. (Resposta: ointC F cdot d r=-4).

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do integral de linha fechado
ointCvec Fcdot dvec r
onde
vec F(x,y) = 3y,hatimath + (x^2 - y),hatjmath
e a curva C é composta por
C1: semicircunferência de raio 1, x^2+y^2=1, y>=0, sentido anti-horário;
C2: arco da parábola y=x^2-1 de x=-1 a x=1.
Vamos parametrizar cada trecho e somar as integrais.

Passo 2

Integral sobre C1. Parametrização
vec r(t) = (cos t,;sin t), tin[0,pi],
então
dvec r = (-sin t,;cos t),dt, vec F(cos t,sin t) = l(3sin t,;cos^2t-sin tr)
O produto escalar é
vec Fcdot dvec r =3sin t,(-sin t)+(cos^2t-sin t)cos t =-3sin^2t+cos^3t-sin tcos t
Integramos de 0 a pi:
integral0^pi-3sin^2t,dt =-3cdotpi2=-3pi2, integral0^picos^3t,dt=0, integral0^pisin tcos t,dt=0
Logo
integralC1vec Fcdot dvec r = -3pi2

Passo 3

Integral sobre C2. Parametrização por x:
vec r(x) = l(x,;x^2-1r), xin[-1,1],
dvec r = (1,,2x),dx, vec Fl(x,x^2-1r) =l(3(x^2-1),;x^2-(x^2-1)r) =(3x^2-3,;1)
Então
vec Fcdot dvec r =(3x^2-3),dx + 1cdot(2x,dx) =(3x^2+2x-3),dx
Integramos de -1 a 1:
integral-1^1(3x^2+2x-3),dx =l[,x^3+;x^2-3xr]-1^1 =l(1+1-3r)-l(-1+1+3r) =(-1)-3=-4
Logo
integralC2vec Fcdot dvec r = -4

Passo 4

Somando as duas partes:
ointCvec Fcdot dvec r =integralC1vec Fcdot dvec r ;+;integralC2vec Fcdot dvec r =-3pi2 + (-4) =-4-3pi2

Resposta

ointCvec Fcdot dvec r =-4-3pi2

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