Dada a densidade de cargas em coordenadas esféricas:
\rho=\frac{\rho_{o}}{\left(r / r_{o}\right)^{2}} e^{-r / r_{o}} \cos ^{2} \varphi
calcule as quantidades de carga contidas nos volumes esféricos envolvidos por r=r_{o}, r=5 r_{o} e r=\infty.

Passo 1

O enunciado dá a densidade de cargas em coordenadas esféricas
\rho(r,\varphi)=\frac{\rho_{0}}{\bigl(r/r_{0}\bigr)^{2}}\,e^{-r/r_{0}}\cos^{2}\varphi
e pede a carga total em volumes esféricos de raio r=r_{0}, r=5r_{0} e r\to\infty. Vamos usar integração tripla em coordenadas esféricas, com elemento de volume \mathrm{d}V=r^{2}\sin\varphi\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta.

Passo 2

Escrevemos a carga contida até um raio genérico R como
Q(R) =\int_{0}^{R}\!\int_{0}^{\pi}\!\int_{0}^{2\pi}\rho(r,\varphi)\,r^{2}\sin\varphi\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}r.

Passo 3

Substituindo \rho e cancelando fatores,
\rho(r,\varphi)\,r^{2} =\rho_{0}\,\frac{r_{0}^{2}}{r^{2}}e^{-r/r_{0}}\cos^{2}\varphi\;r^{2} =\rho_{0}\,r_{0}^{2}\,e^{-r/r_{0}}\cos^{2}\varphi.
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Q(R) =\rho_{0}\,r_{0}^{2} \int_{0}^{R}e^{-r/r_{0}}\mathrm{d}r \int_{0}^{\pi}\cos^{2}\varphi\sin\varphi\,\mathrm{d}\varphi \int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta.

Passo 4

Calculamos separadamente as integrais angulares. Para \theta:
\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta=2\pi.
Para \varphi, façamos u=\cos\varphi, \mathrm{d}u=-\sin\varphi\,\mathrm{d}\varphi, de \varphi=0\to\pi vem u=1\to -1:
\int_{0}^{\pi}\cos^{2}\varphi\sin\varphi\,\mathrm{d}\varphi =\int_{1}^{-1}u^{2}(-\mathrm{d}u) =\int_{-1}^{1}u^{2}\mathrm{d}u =\frac{2}{3}.
Multiplicando dá o fator angular total
2\pi\cdot\frac{2}{3}=\frac{4\pi}{3}.

Passo 5

A integral radial é
\int_{0}^{R}e^{-r/r_{0}}\mathrm{d}r =r_{0}\bigl[1-e^{-R/r_{0}}\bigr].

Passo 6

Juntando tudo obtemos
Q(R) =\rho_{0}\,r_{0}^{2}\,\frac{4\pi}{3}\,\bigl(r_{0}[1-e^{-R/r_{0}}]\bigr) =\frac{4\pi}{3}\,\rho_{0}\,r_{0}^{3}\,\bigl(1-e^{-R/r_{0}}\bigr).

Passo 7

Agora basta avaliar em R=r_{0}, R=5r_{0} e R\to\infty:
Q(r_{0}) =\frac{4\pi}{3}\rho_{0}r_{0}^{3}\bigl(1-e^{-1}\bigr), \quad Q(5r_{0}) =\frac{4\pi}{3}\rho_{0}r_{0}^{3}\bigl(1-e^{-5}\bigr), \quad Q(\infty) =\frac{4\pi}{3}\rho_{0}r_{0}^{3}.

Resposta

Q(r_{0})=\displaystyle\frac{4\pi}{3}\,\rho_{0}\,r_{0}^{3}\bigl(1-e^{-1}\bigr) Q(5r_{0})=\displaystyle\frac{4\pi}{3}\,\rho_{0}\,r_{0}^{3}\bigl(1-e^{-5}\bigr) Q(\infty)=\displaystyle\frac{4\pi}{3}\,\rho_{0}\,r_{0}^{3}

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