Calcule a carga total de uma placa plana, circular, de raio R, carregada com densidade de carga \sigma(r)=\alpha\left(1-\frac{3 r^{2}}{R^{2}}\right), sendo \alpha uma constante positiva, r a distância ao centro e \theta, o ângulo medido em relação ao eixo horizontal x

Passo 1

O enunciado pede a carga total Q de uma placa circular de raio R cuja densidade superficial é radial, dada por \sigma(r)=\alpha\bigl(1-3r^2/R^2\bigr). Para resolver, vamos usar integração de densidade de carga sobre a área da placa em coordenadas polares, onde o elemento de área vale \mathrm{d}A=r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta.

Passo 2

Escrevemos a carga total como
Q \;=\;\iint_{\text{placa}}\sigma(r)\,\mathrm{d}A \;=\;\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{R}\alpha\!\bigl(1-\tfrac{3r^2}{R^2}\bigr)\,r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta.

Passo 3

Primeiro calculamos a integral radial
I =\int_{0}^{R}\bigl(1-\tfrac{3r^2}{R^2}\bigr)\,r\,\mathrm{d}r =\int_{0}^{R}r\,\mathrm{d}r \;-\;\tfrac{3}{R^2}\int_{0}^{R}r^3\,\mathrm{d}r =\Bigl[\tfrac{r^2}{2}\Bigr]_{0}^{R}-\tfrac{3}{R^2}\Bigl[\tfrac{r^4}{4}\Bigr]_{0}^{R} =\tfrac{R^2}{2}-\tfrac{3R^2}{4} =-\tfrac{R^2}{4}.

Passo 4

Agora reinserimos em Q e integramos em \theta:
Q =\alpha\int_{0}^{2\pi}I\,\mathrm{d}\theta =\alpha\int_{0}^{2\pi}\Bigl(-\tfrac{R^2}{4}\Bigr)\mathrm{d}\theta = -\tfrac{\alpha R^2}{4}\times 2\pi =-\tfrac{\pi\alpha R^2}{2}.

Resposta

Q = -\frac{\pi\alpha R^2}{2}.

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