Uma esfera dielétrica oca de raio interno a e externo b está carregada com densidade volumétrica de cargas dada em coordenadas esféricas por \rho(\theta, \varphi)=\alpha \operatorname{sen}(\theta) \operatorname{sen}^{2}(\varphi), sendo \alpha uma constante positiva. Determine a carga total.

Passo 1

O enunciado pede a carga total Q de uma casca esférica dielétrica oca, com raio interno a e externo b, cuja densidade volumétrica em coordenadas esféricas é
\rho(\theta,\varphi)=\alpha\,\sin(\theta)\,\sin^2(\varphi),
onde \alpha é constante. Para resolver usaremos a fórmula da carga total como integral tripla em coordenadas esféricas, lembrando que o elemento de volume é
\mathrm{d}V = r^2\sin(\theta)\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi.

Passo 2

Escrevemos a integral para Q:
Q = \iiint \rho(\theta,\varphi)\,\mathrm{d}V = \int_{r=a}^{b}\int_{\theta=0}^{\pi}\int_{\varphi=0}^{2\pi} \Bigl[\alpha\,\sin(\theta)\,\sin^2(\varphi)\Bigr]\; \bigl[r^2\sin(\theta)\bigr]\, \mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}r.

Passo 3

Fatoramos \alpha e separamos as integrais em r, \theta e \varphi:
Q = \alpha \left(\int_{a}^{b}r^2\mathrm{d}r\right) \left(\int_{0}^{\pi}\sin^2(\theta)\,\mathrm{d}\theta\right) \left(\int_{0}^{2\pi}\sin^2(\varphi)\,\mathrm{d}\varphi\right).

Passo 4

Calculamos a integral em r:
\int_{a}^{b}r^2\mathrm{d}r =\Bigl[\tfrac{r^3}{3}\Bigr]_{a}^{b} =\frac{b^3 - a^3}{3}.

Passo 5

Calculamos a integral em \theta:
\int_{0}^{\pi}\sin^2(\theta)\,\mathrm{d}\theta =\int_{0}^{\pi}\frac{1-\cos(2\theta)}{2}\,\mathrm{d}\theta =\Bigl[\tfrac{\theta}{2}-\tfrac{\sin(2\theta)}{4}\Bigr]_{0}^{\pi} =\frac{\pi}{2}.

Passo 6

Calculamos a integral em \varphi:
\int_{0}^{2\pi}\sin^2(\varphi)\,\mathrm{d}\varphi =\int_{0}^{2\pi}\frac{1-\cos(2\varphi)}{2}\,\mathrm{d}\varphi =\Bigl[\tfrac{\varphi}{2}-\tfrac{\sin(2\varphi)}{4}\Bigr]_{0}^{2\pi} =\pi.

Passo 7

Reunindo os resultados:
Q = \alpha\;\frac{b^3 - a^3}{3}\;\frac{\pi}{2}\;\pi = \frac{\alpha\,\pi^2}{6}\,\bigl(b^3 - a^3\bigr).

Resposta

Q = \frac{\alpha\,\pi^2}{6}\,\bigl(b^3 - a^3\bigr).

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